Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpnel 33091
Description: A hyperplane's generating vector does not belong to the hyperplane. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnel.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel.p = (LSSum‘𝑊)
lshpnel.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lshpnel.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpnel.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpnel.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lshpnel (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)

Proof of Theorem lshpnel
StepHypRef Expression
1 lshpnel.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lshpnel.h . . 3 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3 lshpnel.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lshpnel.u . . 3 (𝜑𝑈𝐻)
51, 2, 3, 4lshpne 33090 . 2 (𝜑𝑈𝑉)
63adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
87lsssssubg 18725 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
96, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
107, 2, 3, 4lshplss 33089 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1110adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
129, 11sseldd 3568 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13 lshpnel.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
1413adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
15 lshpnel.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
161, 7, 15lspsncl 18744 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
176, 14, 16syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
189, 17sseldd 3568 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
19 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
207, 15, 6, 11, 19lspsnel5a 18763 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
21 lshpnel.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝑊)
2221lsmss2 17850 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑈)
2312, 18, 20, 22syl3anc 1317 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑈)
24 lshpnel.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
2524adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
2623, 25eqtr3d 2645 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 = 𝑉)
2726ex 448 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑈𝑈 = 𝑉))
2827necon3ad 2794 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑉 → ¬ 𝑋𝑈))
295, 28mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wss 3539  {csn 4124  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  SubGrpcsubg 17357  LSSumclsm 17818  LModclmod 18632  LSubSpclss 18699  LSpanclspn 18738  LSHypclsh 33083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-subg 17360  df-lsm 17820  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-lshyp 33085
This theorem is referenced by:  lshpnelb  33092  lshpne0  33094  lshpdisj  33095
  Copyright terms: Public domain W3C validator