Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpnel 34588
Description: A hyperplane's generating vector does not belong to the hyperplane. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnel.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel.p = (LSSum‘𝑊)
lshpnel.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lshpnel.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpnel.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpnel.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lshpnel (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)

Proof of Theorem lshpnel
StepHypRef Expression
1 lshpnel.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lshpnel.h . . 3 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3 lshpnel.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lshpnel.u . . 3 (𝜑𝑈𝐻)
51, 2, 3, 4lshpne 34587 . 2 (𝜑𝑈𝑉)
63adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
87lsssssubg 19006 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
96, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
107, 2, 3, 4lshplss 34586 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
129, 11sseldd 3637 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13 lshpnel.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
1413adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
15 lshpnel.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
161, 7, 15lspsncl 19025 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
176, 14, 16syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
189, 17sseldd 3637 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
19 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
207, 15, 6, 11, 19lspsnel5a 19044 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
21 lshpnel.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝑊)
2221lsmss2 18127 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑈)
2312, 18, 20, 22syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑈)
24 lshpnel.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
2524adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
2623, 25eqtr3d 2687 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 = 𝑉)
2726ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑈𝑈 = 𝑉))
2827necon3ad 2836 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑉 → ¬ 𝑋𝑈))
295, 28mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wss 3607  {csn 4210  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  SubGrpcsubg 17635  LSSumclsm 18095  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  LSHypclsh 34580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-lsm 18097  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lshyp 34582
This theorem is referenced by:  lshpnelb  34589  lshpne0  34591  lshpdisj  34592
  Copyright terms: Public domain W3C validator