Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpnelb 34589
Description: The subspace sum of a hyperplane and the span of an element equals the vector space iff the element is not in the hyperplane. (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnelb.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnelb.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnelb.p = (LSSum‘𝑊)
lshpnelb.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnelb.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpnelb.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpnelb.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lshpnelb (𝜑 → (¬ 𝑋𝑈 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnelb
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpnelb.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐻)
2 lshpnelb.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lshpnelb.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 eqid 2651 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5 lshpnelb.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝑊)
6 lshpnelb.h . . . . . . 7 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7 lshpnelb.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
8 lveclmod 19154 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
102, 3, 4, 5, 6, 9islshpsm 34585 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
111, 10mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉))
1211simp3d 1095 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
14 simp1l 1105 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝜑)
15 simp2 1082 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑣𝑉)
164lsssssubg 19006 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
179, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
184, 6, 9, 1lshplss 34586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1917, 18sseldd 3637 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
20 lshpnelb.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑉)
212, 4, 3lspsncl 19025 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
229, 20, 21syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2317, 22sseldd 3637 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
245lsmub1 18117 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
2519, 23, 24syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
2625adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
275lsmub2 18118 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
2819, 23, 27syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
292, 3lspsnid 19041 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
309, 20, 29syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
3128, 30sseldd 3637 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
32 nelne1 2919 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∧ ¬ 𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ≠ 𝑈)
3331, 32sylan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ≠ 𝑈)
3433necomd 2878 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑈 ≠ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
35 df-pss 3623 . . . . . . . 8 (𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑈 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑈 ≠ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))))
3626, 34, 35sylanbrc 699 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
37363ad2ant1 1102 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
384, 5lsmcl 19131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
399, 18, 22, 38syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
402, 4lssss 18985 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
4241adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
43 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
4442, 43sseqtr4d 3675 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
4544adantlr 751 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
46453adant2 1100 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
477adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
4818adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
4939adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
50 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
512, 4, 3, 5, 47, 48, 49, 50lsmcv 19189 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ 𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
5214, 15, 37, 46, 51syl211anc 1372 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
53 simp3 1083 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
5452, 53eqtrd 2685 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
5554rexlimdv3a 3062 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → (∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
5613, 55mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
579adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
581adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝐻)
5920adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋𝑉)
60 simpr 476 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
612, 3, 5, 6, 57, 58, 59, 60lshpnel 34588 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ¬ 𝑋𝑈)
6256, 61impbida 895 1 (𝜑 → (¬ 𝑋𝑈 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  wss 3607  wpss 3608  {csn 4210  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  SubGrpcsubg 17635  LSSumclsm 18095  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  LVecclvec 19150  LSHypclsh 34580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lshyp 34582
This theorem is referenced by:  lshpnel2N  34590  l1cvpat  34659  dochexmidat  37065
  Copyright terms: Public domain W3C validator