Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpset2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpset2N 34927
Description: The set of all hyperplanes of a left module or left vector space equals the set of all kernels of nonzero functionals. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpset2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpset2.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpset2.z 0 = (0g𝐷)
lshpset2.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpset2.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpset2.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lshpset2N (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))})
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝑠,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,𝑊,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔,𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐾(𝑠)   𝑉(𝑠)   0 (𝑔,𝑠)

Proof of Theorem lshpset2N
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpset2.h . . . . . 6 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
2 lshpset2.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3 lshpset2.k . . . . . 6 𝐾 = (LKer‘𝑊)
41, 2, 3lshpkrex 34926 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) → ∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑠)
5 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑔) = 𝑠 → ((𝐾𝑔) ∈ 𝐻𝑠𝐻))
65biimparc 505 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝐻 ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
76adantll 752 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
87adantlr 753 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
9 lshpset2.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 lshpset2.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11 lshpset2.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐷)
12 simplll 815 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → 𝑊 ∈ LVec)
13 simplr 809 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → 𝑔𝐹)
149, 10, 11, 1, 2, 3, 12, 13lkrshp3 34914 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → ((𝐾𝑔) ∈ 𝐻𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
158, 14mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }))
1615ex 449 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐾𝑔) = 𝑠𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
17 eqimss2 3799 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑔) = 𝑠𝑠 ⊆ (𝐾𝑔))
18 eqimss 3798 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑔) = 𝑠 → (𝐾𝑔) ⊆ 𝑠)
1917, 18eqssd 3761 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑔) = 𝑠𝑠 = (𝐾𝑔))
2019a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐾𝑔) = 𝑠𝑠 = (𝐾𝑔)))
2116, 20jcad 556 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐾𝑔) = 𝑠 → (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))))
2221reximdva 3155 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) → (∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑠 → ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))))
234, 22mpd 15 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) → ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)))
2423ex 449 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → (𝑠𝐻 → ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))))
259, 10, 11, 1, 2, 3lkrshp 34913 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
26253adant3r 1196 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
27 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
28 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
299, 27, 28, 1islshp 34787 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → ((𝐾𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
30293ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → ((𝐾𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
3126, 30mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
32 eleq1 2827 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊)))
33 neeq1 2994 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (𝑠𝑉 ↔ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉))
34 uneq1 3903 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (𝑠 ∪ {𝑣}) = ((𝐾𝑔) ∪ {𝑣}))
3534fveq2d 6357 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝐾𝑔) → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})))
3635eqeq1d 2762 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
3736rexbidv 3190 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
3832, 33, 373anbi123d 1548 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐾𝑔) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
3938adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
40393ad2ant3 1130 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4131, 40mpbird 247 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
4241rexlimdv3a 3171 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
439, 27, 28, 1islshp 34787 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑠𝐻 ↔ (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4442, 43sylibrd 249 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)) → 𝑠𝐻))
4524, 44impbid 202 . 2 (𝑊 ∈ LVec → (𝑠𝐻 ↔ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))))
4645abbi2dv 2880 1 (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  {cab 2746  wne 2932  wrex 3051  cun 3713  {csn 4321   × cxp 5264  cfv 6049  Basecbs 16079  Scalarcsca 16166  0gc0g 16322  LSubSpclss 19154  LSpanclspn 19193  LVecclvec 19324  LSHypclsh 34783  LFnlclfn 34865  LKerclk 34893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325  df-lshyp 34785  df-lfl 34866  df-lkr 34894
This theorem is referenced by:  islshpkrN  34928
  Copyright terms: Public domain W3C validator