Theorem lshpsmreu 36239

Description: Lemma for lshpkrex 36248. Show uniqueness of ring multiplier 𝑘 when a vector 𝑋 is broken down into components, one in a hyperplane and the other outside of it . TODO: do we need the cbvrexv 3453 for 𝑎 to 𝑐? (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpsmreu.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpsmreu.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpsmreu.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpsmreu.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpsmreu.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpsmreu.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpsmreu.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpsmreu.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpsmreu.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpsmreu.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpsmreu.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpsmreu.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpsmreu.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpsmreu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑘, +   𝑘,𝐾   · ,𝑘,𝑦   𝑈,𝑘,𝑦   𝑘,𝑋,𝑦   𝑘,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐷(𝑦,𝑘)   ⊕ (𝑦,𝑘)   𝐻(𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpsmreu

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑙 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpsmreu.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		lshpsmreu.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
3	1, 2	eleqtrrd 2916	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
4		lshpsmreu.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 19872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8	7	lsssssubg 19724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
10		lshpsmreu.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
11		lshpsmreu.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
12	7, 10, 6, 11	lshplss 36111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	9, 12	sseldd 3967	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
14		lshpsmreu.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
15		lshpsmreu.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16		lshpsmreu.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17	15, 7, 16	lspsncl 19743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
18	6, 14, 17	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	9, 18	sseldd 3967	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
20		lshpsmreu.a	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑊)
21		lshpsmreu.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
22	20, 21	lsmelval 18768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
23	13, 19, 22	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
24	3, 23	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧))
25		df-rex 3144	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
26		lshpsmreu.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
27		lshpsmreu.k	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
28		lshpsmreu.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29	26, 27, 15, 28, 16	lspsnel 19769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍)))
30	6, 14, 29	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍)))
31	30	anbi1d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
32		r19.41v 3347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
33	31, 32	syl6bbr 291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
34	33	exbidv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧))))
35		rexcom4 3249	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)))
36		ovex 7183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 · 𝑍) ∈ V
37		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑐 + 𝑧) = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
38	37	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) → (𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
39	36, 38	ceqsexv 3541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
40	39	rexbii 3247	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑧(𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
41	35, 40	bitr3i 279	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧∃𝑏 ∈ 𝐾 (𝑧 = (𝑏 · 𝑍) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
42	34, 41	syl6bb 289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧(𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍}) ∧ 𝑋 = (𝑐 + 𝑧)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
43	25, 42	syl5bb 285	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
44	43	rexbidv 3297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑍})𝑋 = (𝑐 + 𝑧) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍))))
45	24, 44	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
46		rexcom 3355	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑈 ∃𝑏 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
47	45, 46	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
48		oveq1 7157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
49	48	eqeq2d 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))))
50	49	cbvrexvw 3450	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
51		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
52		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
53		simp11l 1280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝜑)
54	53, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
55	53, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
56	15, 51, 16, 21, 10, 4, 11, 14, 2	lshpdisj 36117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g‘𝑊)})
57	53, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑍})) = {(0g‘𝑊)})
58	53, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LVec)
59	58, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ LMod)
60		lmodabl 19675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑊 ∈ Abel)
62	52, 61, 54, 55	ablcntzd 18971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑍})))
63		simp12 1200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑎 ∈ 𝑈)
64		simp2 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑐 ∈ 𝑈)
65		simp1rl 1234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑏 ∈ 𝐾)
66	65	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 ∈ 𝐾)
67	53, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑉)
68	15, 28, 26, 27, 16, 59, 66, 67	lspsneli 19767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
69		simp1rr 1235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → 𝑙 ∈ 𝐾)
70	69	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑙 ∈ 𝐾)
71	15, 28, 26, 27, 16, 59, 70, 67	lspsneli 19767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑙 · 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑍}))
72		simp13 1201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)))
73		simp3 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
74	72, 73	eqtr3d 2858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
75	20, 51, 52, 54, 55, 57, 62, 63, 64, 68, 71, 74	subgdisj2 18812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
76	53, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑈 ∈ 𝐻)
77	53, 2	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
78	15, 16, 21, 10, 51, 59, 76, 67, 77	lshpne0 36116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑍 ≠ (0g‘𝑊))
79	15, 28, 26, 27, 51, 58, 66, 70, 67, 78	lvecvscan2 19878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → ((𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍) ↔ 𝑏 = 𝑙))
80	75, 79	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) ∧ 𝑐 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)
81	80	rexlimdv3a 3286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙))
82	81	rexlimdv3a 3286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) → (∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙)))
83	50, 82	syl5bi 244	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)) → 𝑏 = 𝑙)))
84	83	impd 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾)) → ((∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙))
85	84	ralrimivva 3191	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑙 ∈ 𝐾 ((∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙))
86		oveq1 7157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑙 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
87	86	oveq2d 7166	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑙 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍)))
88	87	eqeq2d 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑙 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))))
89	88	rexbidv 3297	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑙 → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))))
90	89	reu4 3721	. . 3 ⊢ (∃!𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑙 ∈ 𝐾 ((∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑙 · 𝑍))) → 𝑏 = 𝑙)))
91	47, 85, 90	sylanbrc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)))
92		oveq1 7157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝑏 · 𝑍) = (𝑘 · 𝑍))
93	92	oveq2d 7166	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))
94	93	eqeq2d 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))))
95	94	rexbidv 3297	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍))))
96	95	cbvreuvw 3451	. . 3 ⊢ (∃!𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)))
97		oveq1 7157	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
98	97	eqeq2d 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
99	98	cbvrexvw 3450	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
100	99	reubii 3391	. . 3 ⊢ (∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
101	96, 100	bitri 277	. 2 ⊢ (∃!𝑏 ∈ 𝐾 ∃𝑐 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑐 + (𝑏 · 𝑍)) ↔ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
102	91, 101	sylib 220	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  ∃!wreu 3140   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  {csn 4560  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  Scalarcsca 16562   ·_𝑠 cvsca 16563  0_gc0g 16707  SubGrpcsubg 18267  Cntzccntz 18439  LSSumclsm 18753  Abelcabl 18901  LModclmod 19628  LSubSpclss 19697  LSpanclspn 19737  LVecclvec 19868  LSHypclsh 36105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-cntz 18441  df-lsm 18755  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-drng 19498  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-lvec 19869  df-lshyp 36107

This theorem is referenced by:  lshpkrlem1  36240  lshpkrlem2  36241  lshpkrlem3  36242  lshpkrcl  36246  dochfl1  38606