Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmcss 20030
 Description: A subset of a pre-Hilbert space whose double orthocomplement has a projection decomposition is a closed subspace. This is the core of the proof that a topologically closed subspace is algebraically closed in a Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcss.c 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
lsmcss.j 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmcss.o = (ocv‘𝑊)
lsmcss.p = (LSSum‘𝑊)
lsmcss.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
lsmcss.2 (𝜑𝑆𝑉)
lsmcss.3 (𝜑 → ( ‘( 𝑆)) ⊆ (𝑆 ( 𝑆)))
Assertion
Ref Expression
lsmcss (𝜑𝑆𝐶)

Proof of Theorem lsmcss
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcss.3 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ‘( 𝑆)) ⊆ (𝑆 ( 𝑆)))
21sseld 3600 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑆 ( 𝑆))))
3 lsmcss.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
4 phllmod 19969 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lsmcss.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝑉)
7 lsmcss.j . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 lsmcss.o . . . . . . . . 9 = (ocv‘𝑊)
97, 8ocvss 20008 . . . . . . . 8 ( 𝑆) ⊆ 𝑉
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝑆) ⊆ 𝑉)
11 eqid 2621 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
12 lsmcss.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝑊)
137, 11, 12lsmelvalx 18049 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑉 ∧ ( 𝑆) ⊆ 𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑆 ( 𝑆)) ↔ ∃𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆)𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
145, 6, 10, 13syl3anc 1325 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ( 𝑆)) ↔ ∃𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆)𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
152, 14sylibd 229 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) → ∃𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆)𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
163ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑊 ∈ PreHil)
176ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑆𝑉)
18 simplrl 800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑦𝑆)
1917, 18sseldd 3602 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑦𝑉)
20 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑧 ∈ ( 𝑆))
219, 20sseldi 3599 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑧𝑉)
22 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
23 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
24 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
2522, 23, 7, 11, 24ipdir 19978 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑧) = ((𝑦(·𝑖𝑊)𝑧)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑧)))
2616, 19, 21, 21, 25syl13anc 1327 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑧) = ((𝑦(·𝑖𝑊)𝑧)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑧)))
27 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
287, 23, 22, 27, 8ocvi 20007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
2920, 18, 28syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3022, 23, 7, 27iporthcom 19974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑧𝑉𝑦𝑉) → ((𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑦(·𝑖𝑊)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
3116, 21, 19, 30syl3anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → ((𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑦(·𝑖𝑊)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
3229, 31mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑦(·𝑖𝑊)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3332oveq1d 6662 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → ((𝑦(·𝑖𝑊)𝑧)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑧)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑧)))
3416, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑊 ∈ LMod)
3522lmodfgrp 18866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
37 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3822, 23, 7, 37ipcl 19972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑧𝑉𝑧𝑉) → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3916, 21, 21, 38syl3anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4037, 24, 27grplid 17446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (𝑧(·𝑖𝑊)𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑧)) = (𝑧(·𝑖𝑊)𝑧))
4136, 39, 40syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑧)) = (𝑧(·𝑖𝑊)𝑧))
4226, 33, 413eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑧) = (𝑧(·𝑖𝑊)𝑧))
43 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆)))
447, 23, 22, 27, 8ocvi 20007 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4543, 20, 44syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4642, 45eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
47 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4822, 23, 7, 27, 47ipeq0 19977 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑧𝑉) → ((𝑧(·𝑖𝑊)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑧 = (0g𝑊)))
4916, 21, 48syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → ((𝑧(·𝑖𝑊)𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑧 = (0g𝑊)))
5046, 49mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑧 = (0g𝑊))
5150oveq2d 6663 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)))
52 lmodgrp 18864 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
535, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
5453ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → 𝑊 ∈ Grp)
557, 11, 47grprid 17447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑉) → (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑦)
5654, 19, 55syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑦)
5751, 56eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = 𝑦)
5857, 18eqeltrd 2700 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑆)
5958ex 450 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑆))
60 eleq1 2688 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) ↔ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆))))
61 eleq1 2688 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑥𝑆 ↔ (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑆))
6260, 61imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → ((𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) → 𝑥𝑆) ↔ ((𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ( ‘( 𝑆)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑆)))
6359, 62syl5ibrcom 237 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆))) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) → 𝑥𝑆)))
6463rexlimdvva 3036 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦𝑆𝑧 ∈ ( 𝑆)𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) → 𝑥𝑆)))
6515, 64syld 47 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) → (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) → 𝑥𝑆)))
6665pm2.43d 53 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ( ‘( 𝑆)) → 𝑥𝑆))
6766ssrdv 3607 . 2 (𝜑 → ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝑆)
68 lsmcss.c . . . 4 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
697, 68, 8iscss2 20024 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑆𝐶 ↔ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝑆))
703, 6, 69syl2anc 693 . 2 (𝜑 → (𝑆𝐶 ↔ ( ‘( 𝑆)) ⊆ 𝑆))
7167, 70mpbird 247 1 (𝜑𝑆𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  ∃wrex 2912   ⊆ wss 3572  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  +gcplusg 15935  Scalarcsca 15938  ·𝑖cip 15940  0gc0g 16094  Grpcgrp 17416  LSSumclsm 18043  LModclmod 18857  PreHilcphl 19963  ocvcocv 19998  CSubSpccss 19999 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-tpos 7349  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-map 7856  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-mhm 17329  df-grp 17419  df-ghm 17652  df-lsm 18045  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-oppr 18617  df-rnghom 18709  df-staf 18839  df-srng 18840  df-lmod 18859  df-lmhm 19016  df-lvec 19097  df-sra 19166  df-rgmod 19167  df-phl 19965  df-ocv 20001  df-css 20002 This theorem is referenced by:  pjcss  20054
 Copyright terms: Public domain W3C validator