MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmcv 19122
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 28481 analog.) TODO: ugly proof; can it be shortened? (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmcv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcv.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmcv.p = (LSSum‘𝑊)
lsmcv.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsmcv.t (𝜑𝑇𝑆)
lsmcv.u (𝜑𝑈𝑆)
lsmcv.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsmcv ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 = (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsmcv
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1061 . 2 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
2 simp2 1060 . . . 4 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑈)
3 pssss 3694 . . . 4 (𝑇𝑈𝑇𝑈)
42, 3syl 17 . . 3 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑈)
5 pssnel 4030 . . . . 5 (𝑇𝑈 → ∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇))
62, 5syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → ∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇))
7 simpl3 1064 . . . . . . 7 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
8 simprl 793 . . . . . . 7 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑥𝑈)
97, 8sseldd 3596 . . . . . 6 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
10 lsmcv.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
11 lveclmod 19087 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
13 lsmcv.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
1413lsssssubg 18939 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
16 lsmcv.t . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇𝑆)
1715, 16sseldd 3596 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 lsmcv.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑉)
19 lsmcv.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Base‘𝑊)
20 lsmcv.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
2119, 13, 20lspsncl 18958 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
2212, 18, 21syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
2315, 22sseldd 3596 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
24 eqid 2620 . . . . . . . . . 10 (+g𝑊) = (+g𝑊)
25 lsmcv.p . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝑊)
2624, 25lsmelval 18045 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
2717, 23, 26syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
28273ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
2928adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
309, 29mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧))
31 simp1rr 1125 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → ¬ 𝑥𝑇)
32 simp2l 1085 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑦𝑇)
33 oveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (0g𝑊) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)))
3433eqeq2d 2630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (0g𝑊) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊))))
3534biimpac 503 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∧ 𝑧 = (0g𝑊)) → 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)))
36123ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LMod)
3736ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LMod)
38163ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑆)
3938ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑆)
40 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑦𝑇)
4119, 13lssel 18919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑇𝑆𝑦𝑇) → 𝑦𝑉)
4239, 40, 41syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑦𝑉)
43 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4419, 24, 43lmod0vrid 18875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑉) → (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑦)
4537, 42, 44syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑦)
4645eqeq2d 2630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4746biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) → 𝑥 = 𝑦))
4847ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) → 𝑥 = 𝑦)))
4935, 48syl7 74 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∧ 𝑧 = (0g𝑊)) → 𝑥 = 𝑦)))
5049exp4a 632 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑧 = (0g𝑊) → 𝑥 = 𝑦))))
51503imp 1254 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑧 = (0g𝑊) → 𝑥 = 𝑦))
52 eleq1 2687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑇𝑦𝑇))
5352biimparc 504 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑇𝑥 = 𝑦) → 𝑥𝑇)
5432, 51, 53syl6an 567 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑧 = (0g𝑊) → 𝑥𝑇))
5554necon3bd 2805 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (¬ 𝑥𝑇𝑧 ≠ (0g𝑊)))
5631, 55mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧 ≠ (0g𝑊))
57103ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LVec)
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑊 ∈ LVec)
59583ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ LVec)
60 lmodabl 18891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
6111, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ Abel)
63 simp1l1 1152 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝜑)
6463, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑇𝑆)
6564, 32, 41syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑦𝑉)
6659, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ LMod)
6763, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑋𝑉)
6866, 67, 21syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
69 simp2r 1086 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
7019, 13lssel 18919 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧𝑉)
7168, 69, 70syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧𝑉)
72 eqid 2620 . . . . . . . . . . 11 (-g𝑊) = (-g𝑊)
7319, 24, 72ablpncan2 18202 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) = 𝑧)
7462, 65, 71, 73syl3anc 1324 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) = 𝑧)
75 lsmcv.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝑆)
7663, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑈𝑆)
77 simp3 1061 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧))
78 simp1rl 1124 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑥𝑈)
7977, 78eqeltrrd 2700 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑈)
80 simp1l2 1153 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑇𝑈)
813sselda 3595 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝑈𝑦𝑇) → 𝑦𝑈)
8280, 32, 81syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑦𝑈)
8372, 13lssvsubcl 18925 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ ((𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
8466, 76, 79, 82, 83syl22anc 1325 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
8574, 84eqeltrrd 2700 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧𝑈)
86593ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
87633ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝜑)
8887, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑋𝑉)
89 simp12r 1173 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
90 simp2 1060 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ≠ (0g𝑊))
9119, 43, 20, 86, 88, 89, 90lspsneleq 19096 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{𝑋}))
9286, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
9387, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑈𝑆)
94 simp3 1061 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧𝑈)
9513, 20, 92, 93, 94lspsnel5a 18977 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈)
9691, 95eqsstr3d 3632 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
9756, 85, 96mpd3an23 1424 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
98973exp 1262 . . . . . 6 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
9998rexlimdvv 3033 . . . . 5 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → (∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
10030, 99mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
1016, 100exlimddv 1861 . . 3 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
10215, 75sseldd 3596 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
10325lsmlub 18059 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
10417, 23, 102, 103syl3anc 1324 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
1051043ad2ant1 1080 . . 3 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑇𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
1064, 101, 105mpbi2and 955 . 2 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈)
1071, 106eqssd 3612 1 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 = (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910  wss 3567  wpss 3568  {csn 4168  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  0gc0g 16081  -gcsg 17405  SubGrpcsubg 17569  LSSumclsm 18030  Abelcabl 18175  LModclmod 18844  LSubSpclss 18913  LSpanclspn 18952  LVecclvec 19083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-subg 17572  df-lsm 18032  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-drng 18730  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953  df-lvec 19084
This theorem is referenced by:  lshpnelb  34090  lshpcmp  34094  lsmsatcv  34116  lsmcv2  34135  dochshpncl  36492
  Copyright terms: Public domain W3C validator