MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmdisj 18010
Description: Disjointness from a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o 0 = (0g𝐺)
lsmdisj.i (𝜑 → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lsmdisj (𝜑 → ((𝑆𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 }))

Proof of Theorem lsmdisj
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 lsmcntz.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 lsmcntz.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝐺)
43lsmub1 17987 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 𝑇))
51, 2, 4syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑆 𝑇))
6 ssrin 3821 . . . . 5 (𝑆 ⊆ (𝑆 𝑇) → (𝑆𝑈) ⊆ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑈) ⊆ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
8 lsmdisj.i . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
97, 8sseqtrd 3625 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑈) ⊆ { 0 })
10 lsmdisj.o . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
1110subg0cl 17518 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑆)
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝑆)
13 lsmcntz.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1410subg0cl 17518 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑈)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝑈)
1612, 15elind 3781 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝑆𝑈))
1716snssd 4314 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑆𝑈))
189, 17eqssd 3605 . 2 (𝜑 → (𝑆𝑈) = { 0 })
193lsmub2 17988 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑆 𝑇))
201, 2, 19syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑆 𝑇))
21 ssrin 3821 . . . . 5 (𝑇 ⊆ (𝑆 𝑇) → (𝑇𝑈) ⊆ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
2322, 8sseqtrd 3625 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ { 0 })
2410subg0cl 17518 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑇)
252, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝑇)
2625, 15elind 3781 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝑇𝑈))
2726snssd 4314 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑇𝑈))
2823, 27eqssd 3605 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
2918, 28jca 554 1 (𝜑 → ((𝑆𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  cin 3559  wss 3560  {csn 4153  cfv 5850  (class class class)co 6605  0gc0g 16016  SubGrpcsubg 17504  LSSumclsm 17965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-subg 17507  df-lsm 17967
This theorem is referenced by:  lsmdisjr  18013  lsmdisj2a  18016  lsmdisj2b  18017
  Copyright terms: Public domain W3C validator