MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisj2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmdisj2a 18146
Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmdisj2a (𝜑 → ((((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 }) ↔ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })))

Proof of Theorem lsmdisj2a
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.p . . . 4 = (LSSum‘𝐺)
2 lsmcntz.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
32adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 lsmcntz.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
54adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 lsmcntz.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8 lsmdisj.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
9 simprl 809 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
10 simprr 811 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → (𝑆𝑇) = { 0 })
111, 3, 5, 7, 8, 9, 10lsmdisj2 18141 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 })
121, 3, 5, 7, 8, 9lsmdisj 18140 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → ((𝑆𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 }))
1312simpld 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → (𝑆𝑈) = { 0 })
1411, 13jca 553 . 2 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 }))
15 incom 3838 . . . 4 ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ (𝑆 𝑇))
162adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
176adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
184adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
19 incom 3838 . . . . . 6 ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈))
20 simprl 809 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 })
2119, 20syl5eq 2697 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })
22 simprr 811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑆𝑈) = { 0 })
231, 16, 17, 18, 8, 21, 22lsmdisj2 18141 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑈 ∩ (𝑆 𝑇)) = { 0 })
2415, 23syl5eq 2697 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
25 incom 3838 . . . 4 (𝑆𝑇) = (𝑇𝑆)
261, 18, 16, 17, 8, 20lsmdisjr 18143 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → ((𝑇𝑆) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 }))
2726simpld 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑇𝑆) = { 0 })
2825, 27syl5eq 2697 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑆𝑇) = { 0 })
2924, 28jca 553 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 }))
3014, 29impbida 895 1 (𝜑 → ((((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 }) ↔ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cin 3606  {csn 4210  cfv 5926  (class class class)co 6690  0gc0g 16147  SubGrpcsubg 17635  LSSumclsm 18095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-lsm 18097
This theorem is referenced by:  lsmdisj3a  18148
  Copyright terms: Public domain W3C validator