Theorem lsmelvalm 18778

Description: Subgroup sum membership analogue of lsmelval 18776 using vector subtraction. TODO: any way to shorten proof? (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmelvalm.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
lsmelvalm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmelvalm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmelvalm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
lsmelvalm	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧, −   𝑦,𝐺,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lsmelvalm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmelvalm.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmelvalm.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		lsmelvalm.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5	3, 4	lsmelval 18776	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
6	1, 2, 5	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
7	2	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9	8	subginvcl 18290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
10	7, 9	sylan 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
11		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
12		lsmelvalm.m	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (-g‘𝐺)
13		subgrcl 18286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
15	14	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐺 ∈ Grp)
16	11	subgss 18282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
18	17	sselda 3969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
19	18	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
20	11	subgss 18282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
21	7, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
22	21	sselda 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
23	11, 3, 12, 8, 15, 19, 22	grpsubinv 18174	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
24	23	eqcomd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
25		oveq2 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
26	25	rspceeqv 3640	. . . . . . 7 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥))) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧))
27	10, 24, 26	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧))
28		eqeq1 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧)))
29	28	rexbidv 3299	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧)))
30	27, 29	syl5ibrcom 249	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
31	30	rexlimdva 3286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
32	8	subginvcl 18290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
33	7, 32	sylan 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
34	18	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
35	21	sselda 3969	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
36	11, 3, 8, 12	grpsubval 18151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧)))
37	34, 35, 36	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧)))
38		oveq2 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧)))
39	38	rspceeqv 3640	. . . . . . 7 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
40	33, 37, 39	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
41		eqeq1 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
42	41	rexbidv 3299	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
43	40, 42	syl5ibrcom 249	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
44	43	rexlimdva 3286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
45	31, 44	impbid 214	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
46	45	rexbidva 3298	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
47	6, 46	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141   ⊆ wss 3938  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  Grpcgrp 18105  inv_gcminusg 18106  -_gcsg 18107  SubGrpcsubg 18275  LSSumclsm 18761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-lsm 18763

This theorem is referenced by:  lsmelvalmi  18779  pgpfac1lem2  19199  pgpfac1lem3  19201  pgpfac1lem4  19202  mapdpglem3  38813