Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmfgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmfgcl 36461
Description: The sum of two finitely generated submodules is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmfgcl.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
lsmfgcl.p = (LSSum‘𝑊)
lsmfgcl.d 𝐷 = (𝑊s 𝐴)
lsmfgcl.e 𝐸 = (𝑊s 𝐵)
lsmfgcl.f 𝐹 = (𝑊s (𝐴 𝐵))
lsmfgcl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsmfgcl.a (𝜑𝐴𝑈)
lsmfgcl.b (𝜑𝐵𝑈)
lsmfgcl.df (𝜑𝐷 ∈ LFinGen)
lsmfgcl.ef (𝜑𝐸 ∈ LFinGen)
Assertion
Ref Expression
lsmfgcl (𝜑𝐹 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lsmfgcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmfgcl.f . 2 𝐹 = (𝑊s (𝐴 𝐵))
2 lsmfgcl.df . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ LFinGen)
3 lsmfgcl.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lsmfgcl.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑈)
5 lsmfgcl.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑊s 𝐴)
6 lsmfgcl.u . . . . . 6 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
7 eqid 2605 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
8 eqid 2605 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
95, 6, 7, 8islssfg2 36458 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑈) → (𝐷 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴))
103, 4, 9syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴))
112, 10mpbid 220 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴)
12 lsmfgcl.ef . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ LFinGen)
13 lsmfgcl.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑈)
14 lsmfgcl.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑊s 𝐵)
1514, 6, 7, 8islssfg2 36458 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑈) → (𝐸 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵))
163, 13, 15syl2anc 690 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵))
1712, 16mpbid 220 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵)
1817adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵)
19 inss1 3790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
2019sseli 3559 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
2120elpwid 4113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑊))
2219sseli 3559 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
2322elpwid 4113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊))
24 lsmfgcl.p . . . . . . . . . . . . . 14 = (LSSum‘𝑊)
258, 7, 24lsmsp2 18850 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏)))
263, 21, 23, 25syl3an 1359 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏)))
27263expb 1257 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏)))
2827oveq2d 6539 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) = (𝑊s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏))))
293adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → 𝑊 ∈ LMod)
30 unss 3744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) ↔ (𝑎𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
3130biimpi 204 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑎𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
3221, 23, 31syl2an 492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑎𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
3332adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑎𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
34 inss2 3791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ Fin
3534sseli 3559 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ∈ Fin)
3634sseli 3559 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin)
37 unfi 8085 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) → (𝑎𝑏) ∈ Fin)
3835, 36, 37syl2an 492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑎𝑏) ∈ Fin)
3938adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑎𝑏) ∈ Fin)
40 eqid 2605 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏))) = (𝑊s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏)))
417, 8, 40islssfgi 36459 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎𝑏) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑎𝑏) ∈ Fin) → (𝑊s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏))) ∈ LFinGen)
4229, 33, 39, 41syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏))) ∈ LFinGen)
4328, 42eqeltrd 2683 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen)
4443anassrs 677 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen)
45 oveq2 6531 . . . . . . . . . 10 (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵))
4645oveq2d 6539 . . . . . . . . 9 (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) = (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)))
4746eleq1d 2667 . . . . . . . 8 (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → ((𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen ↔ (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) ∈ LFinGen))
4844, 47syl5ibcom 233 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) ∈ LFinGen))
4948rexlimdva 3008 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) ∈ LFinGen))
5018, 49mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) ∈ LFinGen)
51 oveq1 6530 . . . . . . 7 (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵) = (𝐴 𝐵))
5251oveq2d 6539 . . . . . 6 (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) = (𝑊s (𝐴 𝐵)))
5352eleq1d 2667 . . . . 5 (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → ((𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) ∈ LFinGen ↔ (𝑊s (𝐴 𝐵)) ∈ LFinGen))
5450, 53syl5ibcom 233 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊s (𝐴 𝐵)) ∈ LFinGen))
5554rexlimdva 3008 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊s (𝐴 𝐵)) ∈ LFinGen))
5611, 55mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑊s (𝐴 𝐵)) ∈ LFinGen)
571, 56syl5eqel 2687 1 (𝜑𝐹 ∈ LFinGen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wrex 2892  cun 3533  cin 3534  wss 3535  𝒫 cpw 4103  cfv 5786  (class class class)co 6523  Fincfn 7814  Basecbs 15637  s cress 15638  LSSumclsm 17814  LModclmod 18628  LSubSpclss 18695  LSpanclspn 18734  LFinGenclfig 36454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-0g 15867  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-subg 17356  df-cntz 17515  df-lsm 17816  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lsp 18735  df-lfig 36455
This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  36473
  Copyright terms: Public domain W3C validator