MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmidm 18071
Description: Subgroup sum is idempotent. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmub1.p = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmidm (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem lsmidm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 eqid 2621 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 lsmub1.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
41, 2, 3lsmval 18057 . . . 4 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑈 𝑈) = ran (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
54anidms 677 . . 3 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 𝑈) = ran (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
62subgcl 17598 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
763expb 1265 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
87ralrimivva 2970 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
9 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦))
109fmpt2 7234 . . . . 5 (∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
118, 10sylib 208 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
12 frn 6051 . . . 4 ((𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈 → ran (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ⊆ 𝑈)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ran (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ⊆ 𝑈)
145, 13eqsstrd 3637 . 2 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 𝑈) ⊆ 𝑈)
153lsmub1 18065 . . 3 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 𝑈))
1615anidms 677 . 2 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (𝑈 𝑈))
1714, 16eqssd 3618 1 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 𝑈) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911  wss 3572   × cxp 5110  ran crn 5113  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  cmpt2 6649  Basecbs 15851  +gcplusg 15935  SubGrpcsubg 17582  LSSumclsm 18043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-subg 17585  df-lsm 18045
This theorem is referenced by:  lsmlub  18072  lspabs2  19114  lspabs3  19115  lsatcv0eq  34160  lsatcv1  34161  lsatcvat3  34165  dia2dimlem13  36191  dihjatcclem1  36533  dvh3dimatN  36554  dvh2dimatN  36555  mapdindp0  36834  mapdh6dN  36854  hdmap1l6d  36929
  Copyright terms: Public domain W3C validator