Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmsatcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmsatcv 33111
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 27701 analog.) Explicit atom version of lsmcv 18908. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsatcv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmsatcv.p = (LSSum‘𝑊)
lsmsatcv.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsmsatcv.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsmsatcv.t (𝜑𝑇𝑆)
lsmsatcv.u (𝜑𝑈𝑆)
lsmsatcv.x (𝜑𝑄𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsmsatcv ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄))

Proof of Theorem lsmsatcv
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmsatcv.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lsmsatcv.x . . . 4 (𝜑𝑄𝐴)
3 eqid 2609 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4 eqid 2609 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5 lsmsatcv.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
63, 4, 5islsati 33095 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑄𝐴) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
71, 2, 6syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
8 lsmsatcv.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9 lsmsatcv.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝑊)
101adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
11 lsmsatcv.t . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇𝑆)
1211adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑇𝑆)
13 lsmsatcv.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑆)
1413adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑈𝑆)
15 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
163, 8, 4, 9, 10, 12, 14, 15lsmcv 18908 . . . . . . 7 (((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
17163expib 1259 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
18173adant3 1073 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
19 oveq2 6535 . . . . . . . . 9 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 𝑄) = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
2019sseq2d 3595 . . . . . . . 8 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄) ↔ 𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
2120anbi2d 735 . . . . . . 7 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) ↔ (𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
2219eqeq2d 2619 . . . . . . 7 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 = (𝑇 𝑄) ↔ 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
2321, 22imbi12d 332 . . . . . 6 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄)) ↔ ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
24233ad2ant3 1076 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄)) ↔ ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
2518, 24mpbird 245 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄)))
2625rexlimdv3a 3014 . . 3 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄))))
277, 26mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄)))
28273impib 1253 1 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  wss 3539  wpss 3540  {csn 4124  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  LSSumclsm 17818  LSubSpclss 18699  LSpanclspn 18738  LVecclvec 18869  LSAtomsclsa 33075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-subg 17360  df-lsm 17820  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-drng 18518  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-lvec 18870  df-lsatoms 33077
This theorem is referenced by:  dochsat  35486
  Copyright terms: Public domain W3C validator