MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmsp 19005
Description: Subspace sum in terms of span. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsp.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmsp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmsp.p = (LSSum‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsmsp ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) = (𝑁‘(𝑇𝑈)))

Proof of Theorem lsmsp
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
2 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 lsmsp.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lssss 18856 . . . . . . 7 (𝑇𝑆𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
543ad2ant2 1081 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
62, 3lssss 18856 . . . . . . 7 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
763ad2ant3 1082 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
85, 7unssd 3767 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
9 lsmsp.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
102, 9lspssid 18904 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇𝑈) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑇𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)))
111, 8, 10syl2anc 692 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)))
1211unssad 3768 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)))
1311unssbd 3769 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)))
143lsssssubg 18877 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15143ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
16 simp2 1060 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑇𝑆)
1715, 16sseldd 3584 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 simp3 1061 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑈𝑆)
1915, 18sseldd 3584 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
202, 3, 9lspcl 18895 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇𝑈) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑇𝑈)) ∈ 𝑆)
211, 8, 20syl2anc 692 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑁‘(𝑇𝑈)) ∈ 𝑆)
2215, 21sseldd 3584 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑁‘(𝑇𝑈)) ∈ (SubGrp‘𝑊))
23 lsmsp.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
2423lsmlub 17999 . . . 4 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘(𝑇𝑈)) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇 ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈))) ↔ (𝑇 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈))))
2517, 19, 22, 24syl3anc 1323 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → ((𝑇 ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈))) ↔ (𝑇 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈))))
2612, 13, 25mpbi2and 955 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)))
273, 23lsmcl 19002 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)
2823lsmunss 17994 . . . 4 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇𝑈) ⊆ (𝑇 𝑈))
2917, 19, 28syl2anc 692 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇𝑈) ⊆ (𝑇 𝑈))
303, 9lspssp 18907 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑁‘(𝑇𝑈)) ⊆ (𝑇 𝑈))
311, 27, 29, 30syl3anc 1323 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑁‘(𝑇𝑈)) ⊆ (𝑇 𝑈))
3226, 31eqssd 3600 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) = (𝑁‘(𝑇𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cun 3553  wss 3555  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  SubGrpcsubg 17509  LSSumclsm 17970  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LSpanclspn 18890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891
This theorem is referenced by:  lsmsp2  19006  lsmpr  19008  lsppr  19012  islshpsm  33744  lshpnel2N  33749  lkrlsp3  33868  djhlsmcl  36180  dochsatshp  36217
  Copyright terms: Public domain W3C validator