MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmspsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmspsn 19003
Description: Member of subspace sum of spans of singletons. (Contributed by NM, 8-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmspsn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmspsn.a + = (+g𝑊)
lsmspsn.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsmspsn.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsmspsn.t · = ( ·𝑠𝑊)
lsmspsn.p = (LSSum‘𝑊)
lsmspsn.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmspsn.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsmspsn.x (𝜑𝑋𝑉)
lsmspsn.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsmspsn (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑗𝐾𝑘𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘, +   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐾,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   · ,𝑗,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝑗,𝑉,𝑘   𝑗,𝑊,𝑘   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑌,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   (𝑗,𝑘)

Proof of Theorem lsmspsn
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmspsn.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lsmspsn.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3 lsmspsn.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lsmspsn.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
53, 4lspsnsubg 18899 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
61, 2, 5syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
7 lsmspsn.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
83, 4lspsnsubg 18899 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
91, 7, 8syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10 lsmspsn.a . . . 4 + = (+g𝑊)
11 lsmspsn.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
1210, 11lsmelval 17985 . . 3 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
136, 9, 12syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
14 lsmspsn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15 lsmspsn.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐹)
16 lsmspsn.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
1714, 15, 3, 16, 4lspsnel 18922 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑗𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋)))
181, 2, 17syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑗𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋)))
1914, 15, 3, 16, 4lspsnel 18922 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
201, 7, 19syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
2118, 20anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (∃𝑗𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌))))
2221biimpa 501 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (∃𝑗𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
2322biantrurd 529 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ((∃𝑗𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
24 r19.41v 3081 . . . . . . 7 (∃𝑘𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ (∃𝑘𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
2524rexbii 3034 . . . . . 6 (∃𝑗𝐾𝑘𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗𝐾 (∃𝑘𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
26 r19.41v 3081 . . . . . 6 (∃𝑗𝐾 (∃𝑘𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ (∃𝑗𝐾𝑘𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
27 reeanv 3097 . . . . . . 7 (∃𝑗𝐾𝑘𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ↔ (∃𝑗𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
2827anbi1i 730 . . . . . 6 ((∃𝑗𝐾𝑘𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ((∃𝑗𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
2925, 26, 283bitrri 287 . . . . 5 (((∃𝑗𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗𝐾𝑘𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
3023, 29syl6bb 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑗𝐾𝑘𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
31302rexbidva 3049 . . 3 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})∃𝑗𝐾𝑘𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
32 rexrot4 3093 . . 3 (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})∃𝑗𝐾𝑘𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗𝐾𝑘𝐾𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
3331, 32syl6bb 276 . 2 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑗𝐾𝑘𝐾𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
341adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐾𝑘𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
35 simprl 793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐾𝑘𝐾)) → 𝑗𝐾)
362adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐾𝑘𝐾)) → 𝑋𝑉)
373, 16, 14, 15, 4, 34, 35, 36lspsneli 18920 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐾𝑘𝐾)) → (𝑗 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
38 simprr 795 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐾𝑘𝐾)) → 𝑘𝐾)
397adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐾𝑘𝐾)) → 𝑌𝑉)
403, 16, 14, 15, 4, 34, 38, 39lspsneli 18920 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐾𝑘𝐾)) → (𝑘 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
41 oveq1 6611 . . . . . 6 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) → (𝑣 + 𝑤) = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤))
4241eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤)))
43 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 · 𝑌) → ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤) = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌)))
4443eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 · 𝑌) → (𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
4542, 44ceqsrex2v 3321 . . . 4 (((𝑗 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑘 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
4637, 40, 45syl2anc 692 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐾𝑘𝐾)) → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
47462rexbidva 3049 . 2 (𝜑 → (∃𝑗𝐾𝑘𝐾𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗𝐾𝑘𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
4813, 33, 473bitrd 294 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑗𝐾𝑘𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  {csn 4148  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  SubGrpcsubg 17509  LSSumclsm 17970  LModclmod 18784  LSpanclspn 18890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-lsm 17972  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891
This theorem is referenced by:  lsppr  19012  baerlem3lem2  36479  baerlem5alem2  36480  baerlem5blem2  36481
  Copyright terms: Public domain W3C validator