Theorem lsmsubg2 18973

Description: The sum of two subgroups is a subgroup. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmcom.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmsubg2	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem lsmsubg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1133	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		simp3 1134	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
4		simp1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Abel)
5	3, 4, 1, 2	ablcntzd 18971	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝑈))
6		lsmcom.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
7	6, 3	lsmsubg 18773	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	1, 2, 5, 7	syl3anc 1367	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3936  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  SubGrpcsubg 18267  Cntzccntz 18439  LSSumclsm 18753  Abelcabl 18901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-subg 18270  df-cntz 18441  df-lsm 18755  df-cmn 18902  df-abl 18903

This theorem is referenced by:  lsm4  18974  ablfacrp  19182  pgpfac1lem1  19190  pgpfac1lem2  19191  pgpfac1lem3a  19192  pgpfac1lem3  19193  lsmcl  19849