Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmub1x Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmub1x 18055
 Description: Subgroup sum is an upper bound of its arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmless2.v 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmub1x ((𝑇𝐵𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 𝑈))

Proof of Theorem lsmub1x
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 17340 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
21ad2antlr 763 . . . . 5 (((𝑇𝐵𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑇) → 𝐺 ∈ Mnd)
3 simpll 790 . . . . . 6 (((𝑇𝐵𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑇𝐵)
4 simpr 477 . . . . . 6 (((𝑇𝐵𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
53, 4sseldd 3602 . . . . 5 (((𝑇𝐵𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝐵)
6 lsmless2.v . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 eqid 2621 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
8 eqid 2621 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
96, 7, 8mndrid 17306 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥)
102, 5, 9syl2anc 693 . . . 4 (((𝑇𝐵𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥)
116submss 17344 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈𝐵)
1211ad2antlr 763 . . . . 5 (((𝑇𝐵𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑈𝐵)
138subm0cl 17346 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑈)
1413ad2antlr 763 . . . . 5 (((𝑇𝐵𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑇) → (0g𝐺) ∈ 𝑈)
15 lsmless2.s . . . . . 6 = (LSSum‘𝐺)
166, 7, 15lsmelvalix 18050 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) ∈ (𝑇 𝑈))
172, 3, 12, 4, 14, 16syl32anc 1333 . . . 4 (((𝑇𝐵𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) ∈ (𝑇 𝑈))
1810, 17eqeltrrd 2701 . . 3 (((𝑇𝐵𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑇 𝑈))
1918ex 450 . 2 ((𝑇𝐵𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑇 𝑈)))
2019ssrdv 3607 1 ((𝑇𝐵𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ⊆ wss 3572  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  +gcplusg 15935  0gc0g 16094  Mndcmnd 17288  SubMndcsubmnd 17328  LSSumclsm 18043 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-lsm 18045 This theorem is referenced by:  lsmsubm  18062  lsmub1  18065
 Copyright terms: Public domain W3C validator