Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspabs3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspabs3 19115
 Description: Absorption law for span of vector sum. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspabs2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspabs2.p + = (+g𝑊)
lspabs2.o 0 = (0g𝑊)
lspabs2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspabs2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspabs2.x (𝜑𝑋𝑉)
lspabs3.y (𝜑𝑌𝑉)
lspabs3.xy (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )
lspabs3.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lspabs3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))

Proof of Theorem lspabs3
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2 lspabs2.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 lspabs2.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 19100 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lspabs2.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
7 lspabs2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
87, 1, 2lspsncl 18971 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
95, 6, 8syl2anc 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10 lspabs3.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
117, 1, 2lspsncl 18971 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
125, 10, 11syl2anc 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13 eqid 2621 . . . . . . 7 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
141, 13lsmcl 19077 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
155, 9, 12, 14syl3anc 1325 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
167, 2lspsnsubg 18974 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
175, 6, 16syl2anc 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 lspabs3.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
1918, 17eqeltrrd 2701 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
207, 2lspsnid 18987 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
215, 6, 20syl2anc 693 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
227, 2lspsnid 18987 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
235, 10, 22syl2anc 693 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
24 lspabs2.p . . . . . . 7 + = (+g𝑊)
2524, 13lsmelvali 18059 . . . . . 6 ((((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
2617, 19, 21, 23, 25syl22anc 1326 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
271, 2, 5, 15, 26lspsnel5a 18990 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
2818oveq2d 6663 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
2913lsmidm 18071 . . . . . 6 ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
3017, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
3128, 30eqtr3d 2657 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑋}))
3227, 31sseqtrd 3639 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
33 lspabs2.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
347, 24lmodvacl 18871 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
355, 6, 10, 34syl3anc 1325 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
36 lspabs3.xy . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )
37 eldifsn 4315 . . . . 5 ((𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 ))
3835, 36, 37sylanbrc 698 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
397, 33, 2, 3, 38, 6lspsncmp 19110 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ↔ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋})))
4032, 39mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋}))
4140eqcomd 2627 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793   ∖ cdif 3569   ⊆ wss 3572  {csn 4175  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  +gcplusg 15935  0gc0g 16094  SubGrpcsubg 17582  LSSumclsm 18043  LModclmod 18857  LSubSpclss 18926  LSpanclspn 18965  LVecclvec 19096 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-tpos 7349  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-sbg 17421  df-subg 17585  df-cntz 17744  df-lsm 18045  df-cmn 18189  df-abl 18190  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-oppr 18617  df-dvdsr 18635  df-unit 18636  df-invr 18666  df-drng 18743  df-lmod 18859  df-lss 18927  df-lsp 18966  df-lvec 19097 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator