MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspdisjb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspdisjb 18893
Description: A nonzero vector is not in a subspace iff its span is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspdisjb.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisjb.o 0 = (0g𝑊)
lspdisjb.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisjb.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspdisjb.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspdisjb.u (𝜑𝑈𝑆)
lspdisjb.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lspdisjb (𝜑 → (¬ 𝑋𝑈 ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }))

Proof of Theorem lspdisjb
StepHypRef Expression
1 lspdisjb.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspdisjb.o . . 3 0 = (0g𝑊)
3 lspdisjb.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 lspdisjb.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5 lspdisjb.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
65adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
7 lspdisjb.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
87adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑈𝑆)
9 lspdisjb.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
109eldifad 3551 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
1110adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
12 simpr 475 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → ¬ 𝑋𝑈)
131, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12lspdisj 18892 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })
14 eldifsni 4260 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
159, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋0 )
1615adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → 𝑋0 )
17 lveclmod 18873 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
185, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
191, 3lspsnid 18760 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
2018, 10, 19syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
21 elin 3757 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋𝑈))
22 eleq2 2676 . . . . . . . 8 (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
23 elsni 4141 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
2422, 23syl6bi 241 . . . . . . 7 (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) → 𝑋 = 0 ))
2521, 24syl5bir 231 . . . . . 6 (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → ((𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋𝑈) → 𝑋 = 0 ))
2625expd 450 . . . . 5 (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑋𝑈𝑋 = 0 )))
2720, 26mpan9 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → (𝑋𝑈𝑋 = 0 ))
2827necon3ad 2794 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → (𝑋0 → ¬ 𝑋𝑈))
2916, 28mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → ¬ 𝑋𝑈)
3013, 29impbida 872 1 (𝜑 → (¬ 𝑋𝑈 ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cdif 3536  cin 3538  {csn 4124  cfv 5790  Basecbs 15641  0gc0g 15869  LModclmod 18632  LSubSpclss 18699  LSpanclspn 18738  LVecclvec 18869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-drng 18518  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-lvec 18870
This theorem is referenced by:  mapdh6b0N  35839  hdmap1l6b0N  35914
  Copyright terms: Public domain W3C validator