Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspexchn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspexchn1 19049
 Description: Exchange property for span of a pair with negated membership. TODO: look at uses of lspexch 19048 to see if this will shorten proofs. (Contributed by NM, 20-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspexchn1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspexchn1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspexchn1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspexchn1.x (𝜑𝑋𝑉)
lspexchn1.y (𝜑𝑌𝑉)
lspexchn1.z (𝜑𝑍𝑉)
lspexchn1.q (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
lspexchn1.e (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
lspexchn1 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))

Proof of Theorem lspexchn1
StepHypRef Expression
1 lspexchn1.e . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
2 lspexchn1.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 eqid 2621 . . 3 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4 lspexchn1.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 lspexchn1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
65adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑊 ∈ LVec)
7 eqid 2621 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8 lveclmod 19025 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
95, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
10 lspexchn1.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
112, 7, 4lspsncl 18896 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
129, 10, 11syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13 lspexchn1.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
14 lspexchn1.q . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
152, 3, 7, 9, 12, 13, 14lssneln0 18871 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}))
1615adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}))
17 lspexchn1.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
1817adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑋𝑉)
1910adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑍𝑉)
202, 4, 9, 13, 10, 14lspsnne2 19037 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
2120adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
22 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
232, 3, 4, 6, 16, 18, 19, 21, 22lspexch 19048 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
241, 23mtand 690 1 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∖ cdif 3552  {csn 4148  {cpr 4150  ‘cfv 5847  Basecbs 15781  0gc0g 16021  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LSpanclspn 18890  LVecclvec 19021 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022 This theorem is referenced by:  lspexchn2  19050
 Copyright terms: Public domain W3C validator