MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspindp2 19054
Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (rotate right). (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspindp1.o 0 = (0g𝑊)
lspindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspindp2.x (𝜑𝑋𝑉)
lspindp2.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspindp2.z (𝜑𝑍𝑉)
lspindp2.q (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lspindp2.e (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lspindp2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋})))

Proof of Theorem lspindp2
StepHypRef Expression
1 lspindp1.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspindp1.o . 2 0 = (0g𝑊)
3 lspindp1.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 lspindp1.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lspindp2.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6 lspindp2.x . 2 (𝜑𝑋𝑉)
7 lspindp2.z . 2 (𝜑𝑍𝑉)
8 lspindp2.q . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
98necomd 2845 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
10 lspindp2.e . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
11 prcom 4237 . . . . 5 {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
1211fveq2i 6151 . . . 4 (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑋})
1312eleq2i 2690 . . 3 (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
1410, 13sylnib 318 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 14lspindp1 19052 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3552  {csn 4148  {cpr 4150  cfv 5847  Basecbs 15781  0gc0g 16021  LSpanclspn 18890  LVecclvec 19021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  36497  mapdheq4  36498  mapdh6lem1N  36499  mapdh6lem2N  36500  mapdh6aN  36501  hdmap1l6lem1  36574  hdmap1l6lem2  36575  hdmap1l6a  36576
  Copyright terms: Public domain W3C validator