MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppr 19015
Description: Span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 22-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppr.a + = (+g𝑊)
lsppr.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsppr.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsppr.t · = ( ·𝑠𝑊)
lsppr.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppr.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsppr.x (𝜑𝑋𝑉)
lsppr.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsppr (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
Distinct variable groups:   𝑘,𝑙, +   𝑘,𝐹,𝑙   𝑘,𝐾,𝑙   𝑣,𝑘,𝑁,𝑙   · ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑉,𝑙   𝑘,𝑊,𝑙,𝑣   𝑘,𝑋,𝑙,𝑣   𝑘,𝑌,𝑙,𝑣   𝜑,𝑘,𝑙,𝑣
Allowed substitution hints:   + (𝑣)   · (𝑣)   𝐹(𝑣)   𝐾(𝑣)   𝑉(𝑣)

Proof of Theorem lsppr
StepHypRef Expression
1 df-pr 4153 . . 3 {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
21fveq2i 6153 . 2 (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
3 lsppr.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lsppr.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
54snssd 4311 . . . 4 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
6 lsppr.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
76snssd 4311 . . . 4 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
8 lsppr.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 lsppr.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
108, 9lspun 18909 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
113, 5, 7, 10syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
12 eqid 2621 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
138, 12, 9lspsncl 18899 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
143, 4, 13syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
158, 12, 9lspsncl 18899 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
163, 6, 15syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17 eqid 2621 . . . . 5 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
1812, 9, 17lsmsp 19008 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
193, 14, 16, 18syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
20 lsppr.a . . . . 5 + = (+g𝑊)
21 lsppr.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
22 lsppr.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
23 lsppr.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
248, 20, 21, 22, 23, 17, 9, 3, 4, 6lsmspsn 19006 . . . 4 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
2524abbi2dv 2739 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
2611, 19, 253eqtr2d 2661 . 2 (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
272, 26syl5eq 2667 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wrex 2908  cun 3554  wss 3556  {csn 4150  {cpr 4152  cfv 5849  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  +gcplusg 15865  Scalarcsca 15868   ·𝑠 cvsca 15869  LSSumclsm 17973  LModclmod 18787  LSubSpclss 18854  LSpanclspn 18893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-0g 16026  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-subg 17515  df-cntz 17674  df-lsm 17975  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-lmod 18789  df-lss 18855  df-lsp 18894
This theorem is referenced by:  lspprel  19016
  Copyright terms: Public domain W3C validator