MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspprat 19072
Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if 𝑧 is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lspprat (𝜑 → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝑋(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem lspprat
StepHypRef Expression
1 ssdif0 3916 . . 3 (𝑈 ⊆ {(0g𝑊)} ↔ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) = ∅)
2 lspprat.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 19025 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lspprat.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 eqid 2621 . . . . . . . 8 (0g𝑊) = (0g𝑊)
75, 6lmod0vcl 18813 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
98adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
10 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → 𝑈 ⊆ {(0g𝑊)})
11 lspprat.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑆)
12 lspprat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
136, 12lss0ss 18868 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {(0g𝑊)} ⊆ 𝑈)
144, 11, 13syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → {(0g𝑊)} ⊆ 𝑈)
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → {(0g𝑊)} ⊆ 𝑈)
1610, 15eqssd 3600 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → 𝑈 = {(0g𝑊)})
17 lspprat.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
186, 17lspsn0 18927 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
194, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
2019adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → (𝑁‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
2116, 20eqtr4d 2658 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → 𝑈 = (𝑁‘{(0g𝑊)}))
22 sneq 4158 . . . . . . . 8 (𝑧 = (0g𝑊) → {𝑧} = {(0g𝑊)})
2322fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝑧 = (0g𝑊) → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{(0g𝑊)}))
2423eqeq2d 2631 . . . . . 6 (𝑧 = (0g𝑊) → (𝑈 = (𝑁‘{𝑧}) ↔ 𝑈 = (𝑁‘{(0g𝑊)})))
2524rspcev 3295 . . . . 5 (((0g𝑊) ∈ 𝑉𝑈 = (𝑁‘{(0g𝑊)})) → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
269, 21, 25syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
2726ex 450 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ⊆ {(0g𝑊)} → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
281, 27syl5bir 233 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) = ∅ → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
295, 12lssss 18856 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
3011, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
3130ssdifssd 3726 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) ⊆ 𝑉)
3231sseld 3582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) → 𝑧𝑉))
33 lspprat.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
34 lspprat.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
35 lspprat.p . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
365, 12, 17, 2, 11, 33, 34, 35, 6lsppratlem6 19071 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
3732, 36jcad 555 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) → (𝑧𝑉𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))))
3837eximdv 1843 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) → ∃𝑧(𝑧𝑉𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))))
39 n0 3907 . . 3 ((𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}))
40 df-rex 2913 . . 3 (∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}) ↔ ∃𝑧(𝑧𝑉𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
4138, 39, 403imtr4g 285 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) ≠ ∅ → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
4228, 41pm2.61dne 2876 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  cdif 3552  wss 3555  wpss 3556  c0 3891  {csn 4148  {cpr 4150  cfv 5847  Basecbs 15781  0gc0g 16021  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LSpanclspn 18890  LVecclvec 19021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022
This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  36215
  Copyright terms: Public domain W3C validator