Theorem lsppratlem1 19911

Description: Lemma for lspprat 19917. Let 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ {0}) (if there is no such 𝑥 then 𝑈 is the zero subspace), and let 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) (assuming the conclusion is false). The goal is to write 𝑋, 𝑌 in terms of 𝑥, 𝑦, which would normally be done by solving the system of linear equations. The span equivalent of this process is lspsolv 19907 (hence the name), which we use extensively below. In this lemma, we show that since 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}), either 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}) or 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}). (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsppratlem1.x2	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))

Assertion

Ref	Expression
lsppratlem1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ∨ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})))

Proof of Theorem lsppratlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprat.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2	1	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
3		lspprat.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
4	3	snssd 4734	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
5	4	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → {𝑌} ⊆ 𝑉)
6		lspprat.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lspprat.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
9	8	pssssd 4072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
10		lsppratlem1.x2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑈)
12	9, 11	sseldd 3966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
13		prcom 4660	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
14		df-pr 4562	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑌, 𝑋} = ({𝑌} ∪ {𝑋})
15	13, 14	eqtri 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑌} ∪ {𝑋})
16	15	fveq2i 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋}))
17	12, 16	eleqtrdi 2921	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})))
18	17	anim1i 616	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑥 ∈ (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
19		eldif 3944	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑥 ∈ (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
20	18, 19	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑌})))
21		lspprat.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
22		lspprat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
23		lspprat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
24	21, 22, 23	lspsolv 19907	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑌})))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑥})))
25	2, 5, 7, 20, 24	syl13anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑥})))
26		df-pr 4562	. . . . . 6 ⊢ {𝑌, 𝑥} = ({𝑌} ∪ {𝑥})
27		prcom 4660	. . . . . 6 ⊢ {𝑌, 𝑥} = {𝑥, 𝑌}
28	26, 27	eqtr3i 2844	. . . . 5 ⊢ ({𝑌} ∪ {𝑥}) = {𝑥, 𝑌}
29	28	fveq2i 6666	. . . 4 ⊢ (𝑁‘({𝑌} ∪ {𝑥})) = (𝑁‘{𝑥, 𝑌})
30	25, 29	eleqtrdi 2921	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
31	30	ex 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})))
32	31	orrd 859	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ∨ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3931   ∪ cun 3932   ⊆ wss 3934   ⊊ wpss 3935  {csn 4559  {cpr 4561  ‘cfv 6348  Basecbs 16475  0_gc0g 16705  LSubSpclss 19695  LSpanclspn 19735  LVecclvec 19866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867

This theorem is referenced by:  lsppratlem5  19915