MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem2 19350
Description: Lemma for lspprat 19355. Show that if 𝑋 and 𝑌 are both in (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) (which will be our goal for each of the two cases above), then (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈, contradicting the hypothesis for 𝑈. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o 0 = (0g𝑊)
lsppratlem1.x2 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem2.x1 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
lsppratlem2.y1 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lsppratlem2
StepHypRef Expression
1 lspprat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lspprat.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 lspprat.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 19308 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lsppratlem1.x2 . . . . . . 7 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
76eldifad 3727 . . . . . 6 (𝜑𝑥𝑈)
8 lsppratlem1.y2 . . . . . . 7 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
98eldifad 3727 . . . . . 6 (𝜑𝑦𝑈)
10 prssi 4498 . . . . . 6 ((𝑥𝑈𝑦𝑈) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑈)
117, 9, 10syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑈)
12 lspprat.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
13 lspprat.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
1413, 1lssss 19139 . . . . . 6 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
1512, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
1611, 15sstrd 3754 . . . 4 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
1713, 1, 2lspcl 19178 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
185, 16, 17syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
19 lsppratlem2.x1 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
20 lsppratlem2.y1 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
211, 2, 5, 18, 19, 20lspprss 19194 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
221, 2, 5, 12, 7, 9lspprss 19194 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ⊆ 𝑈)
2321, 22sstrd 3754 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  cdif 3712  wss 3715  wpss 3716  {csn 4321  {cpr 4323  cfv 6049  Basecbs 16059  0gc0g 16302  LModclmod 19065  LSubSpclss 19134  LSpanclspn 19173  LVecclvec 19304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-lvec 19305
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  19353
  Copyright terms: Public domain W3C validator