MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem2 19062
Description: Lemma for lspprat 19067. Show that if 𝑋 and 𝑌 are both in (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) (which will be our goal for each of the two cases above), then (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈, contradicting the hypothesis for 𝑈. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o 0 = (0g𝑊)
lsppratlem1.x2 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem2.x1 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
lsppratlem2.y1 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lsppratlem2
StepHypRef Expression
1 lspprat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lspprat.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 lspprat.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 19020 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lsppratlem1.x2 . . . . . . 7 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
76eldifad 3572 . . . . . 6 (𝜑𝑥𝑈)
8 lsppratlem1.y2 . . . . . . 7 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
98eldifad 3572 . . . . . 6 (𝜑𝑦𝑈)
10 prssi 4326 . . . . . 6 ((𝑥𝑈𝑦𝑈) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑈)
117, 9, 10syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑈)
12 lspprat.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
13 lspprat.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
1413, 1lssss 18851 . . . . . 6 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
1512, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
1611, 15sstrd 3598 . . . 4 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
1713, 1, 2lspcl 18890 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
185, 16, 17syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
19 lsppratlem2.x1 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
20 lsppratlem2.y1 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
211, 2, 5, 18, 19, 20lspprss 18906 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
221, 2, 5, 12, 7, 9lspprss 18906 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ⊆ 𝑈)
2321, 22sstrd 3598 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992  cdif 3557  wss 3560  wpss 3561  {csn 4153  {cpr 4155  cfv 5850  Basecbs 15776  0gc0g 16016  LModclmod 18779  LSubSpclss 18846  LSpanclspn 18885  LVecclvec 19016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-lmod 18781  df-lss 18847  df-lsp 18886  df-lvec 19017
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  19065
  Copyright terms: Public domain W3C validator