MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem3 19068
Description: Lemma for lspprat 19072. In the first case of lsppratlem1 19066, since 𝑥 ∉ (𝑁‘∅), also 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥}), and since 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑥}) and 𝑦 ∉ (𝑁‘{𝑥}), we have 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) as desired. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o 0 = (0g𝑊)
lsppratlem1.x2 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem3.x3 (𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

Proof of Theorem lsppratlem3
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19025 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lspprat.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
54snssd 4309 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
6 lspprat.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 lspprat.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
86, 7lspssv 18902 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
93, 5, 8syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
10 lsppratlem3.x3 . . . . . 6 (𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
119, 10sseldd 3584 . . . . 5 (𝜑𝑥𝑉)
1211snssd 4309 . . . 4 (𝜑 → {𝑥} ⊆ 𝑉)
13 lspprat.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
14 lspprat.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
1514pssssd 3682 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
1613snssd 4309 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
1712, 16unssd 3767 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉)
18 lspprat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
196, 18, 7lspcl 18895 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆)
203, 17, 19syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆)
21 df-pr 4151 . . . . . . . . 9 {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
226, 7lspssid 18904 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉) → ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
233, 17, 22syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
2423unssbd 3769 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
25 ssun1 3754 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥} ⊆ ({𝑥} ∪ {𝑋})
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑥} ⊆ ({𝑥} ∪ {𝑋}))
276, 7lspss 18903 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉 ∧ {𝑥} ⊆ ({𝑥} ∪ {𝑋})) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
283, 17, 26, 27syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
29 0ss 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15 ∅ ⊆ 𝑉
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∅ ⊆ 𝑉)
31 uncom 3735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∅ ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ∅)
32 un0 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑌} ∪ ∅) = {𝑌}
3331, 32eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∅ ∪ {𝑌}) = {𝑌}
3433fveq2i 6151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁‘(∅ ∪ {𝑌})) = (𝑁‘{𝑌})
3510, 34syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑌})))
36 lsppratlem1.x2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
3736eldifbd 3568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ { 0 })
38 lsppratlem1.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (0g𝑊)
3938, 7lsp0 18928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘∅) = { 0 })
403, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁‘∅) = { 0 })
4137, 40neleqtrrd 2720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘∅))
4235, 41eldifd 3566 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘∅)))
436, 18, 7lspsolv 19062 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (∅ ⊆ 𝑉𝑌𝑉𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘∅)))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
441, 30, 4, 42, 43syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
45 uncom 3735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∅ ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ ∅)
46 un0 3939 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥} ∪ ∅) = {𝑥}
4745, 46eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∪ {𝑥}) = {𝑥}
4847fveq2i 6151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})) = (𝑁‘{𝑥})
4944, 48syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
5028, 49sseldd 3584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5150snssd 4309 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5224, 51unssd 3767 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5321, 52syl5eqss 3628 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5418, 7lspssp 18907 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋}))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
553, 20, 53, 54syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5615, 55sstrd 3593 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5756ssdifd 3724 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
58 lsppratlem1.y2 . . . . 5 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
5957, 58sseldd 3584 . . . 4 (𝜑𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
606, 18, 7lspsolv 19062 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑉𝑋𝑉𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
611, 12, 13, 59, 60syl13anc 1325 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
62 df-pr 4151 . . . 4 {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
6362fveq2i 6151 . . 3 (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦}))
6461, 63syl6eleqr 2709 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
65 lspprat.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑆)
666, 18lssss 18856 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑉)
6867ssdifssd 3726 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ 𝑉)
6968, 58sseldd 3584 . . . . . . 7 (𝜑𝑦𝑉)
7069snssd 4309 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑦} ⊆ 𝑉)
7112, 70unssd 3767 . . . . 5 (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑦}) ⊆ 𝑉)
7262, 71syl5eqss 3628 . . . 4 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
73 snsspr1 4313 . . . . 5 {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦}
7473a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦})
756, 7lspss 18903 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦}) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
763, 72, 74, 75syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
7776, 49sseldd 3584 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
7864, 77jca 554 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cdif 3552  cun 3553  wss 3555  wpss 3556  c0 3891  {csn 4148  {cpr 4150  cfv 5847  Basecbs 15781  0gc0g 16021  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LSpanclspn 18890  LVecclvec 19021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  19070
  Copyright terms: Public domain W3C validator