MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprid1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspprid1 18991
Description: A member of a pair of vectors belongs to their span. (Contributed by NM, 14-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprid.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprid.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprid.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspprid.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprid.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspprid1 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspprid1
StepHypRef Expression
1 lspprid.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lspprid.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3 lspprid.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
4 prssi 4351 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
52, 3, 4syl2anc 693 . . 3 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
6 snsspr1 4343 . . . 4 {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌})
8 lspprid.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 lspprid.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
108, 9lspss 18978 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
111, 5, 7, 10syl3anc 1325 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
12 eqid 2621 . . 3 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
138, 12, 9, 1, 2, 3lspprcl 18972 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
148, 12, 9, 1, 13, 2lspsnel5 18989 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
1511, 14mpbird 247 1 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  wss 3572  {csn 4175  {cpr 4177  cfv 5886  Basecbs 15851  LModclmod 18857  LSubSpclss 18926  LSpanclspn 18965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-plusg 15948  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-sbg 17421  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-lmod 18859  df-lss 18927  df-lsp 18966
This theorem is referenced by:  lspprid2  18992  lspprvacl  18993  dvh3dim2  36563  mapdh9a  36905  hdmapval0  36951  hdmapval3lemN  36955  hdmap10lem  36957  hdmap11lem2  36960
  Copyright terms: Public domain W3C validator