Theorem lspprvacl 19765

Description: The sum of two vectors belongs to their span. (Contributed by NM, 20-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprvacl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprvacl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lspprvacl.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprvacl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprvacl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprvacl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspprvacl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspprvacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprvacl.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspprvacl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2821	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4		lspprvacl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lspprvacl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		lspprvacl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7	2, 3, 4, 1, 5, 6	lspprcl 19744	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	2, 4, 1, 5, 6	lspprid1 19763	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
9	2, 4, 1, 5, 6	lspprid2 19764	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
10		lspprvacl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
11	10, 3	lssvacl 19720	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
12	1, 7, 8, 9, 11	syl22anc 836	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {cpr 4562  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  LModclmod 19628  LSubSpclss 19697  LSpanclspn 19737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738

This theorem is referenced by:  mapdh6aN  38865  hdmap1l6a  38939  hdmap11lem1  38971