MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsn 18934
Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsn.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsn.t · = ( ·𝑠𝑊)
lspsn.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsn ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑣,𝑘,𝐾   𝑘,𝑁,𝑣   𝑘,𝑉,𝑣   𝑘,𝑊,𝑣   · ,𝑘,𝑣   𝑘,𝑋,𝑣
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑣)

Proof of Theorem lspsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2 lspsn.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 simpl 473 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
4 lspsn.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 lspsn.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 lspsn.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
7 lspsn.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
84, 5, 6, 7, 1lss1d 18895 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 eqid 2621 . . . . . . 7 (1r𝐹) = (1r𝐹)
105, 7, 9lmod1cl 18822 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
124, 5, 6, 9lmodvs1 18823 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
1312eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 = ((1r𝐹) · 𝑋))
14 oveq1 6617 . . . . . . 7 (𝑘 = (1r𝐹) → (𝑘 · 𝑋) = ((1r𝐹) · 𝑋))
1514eqeq2d 2631 . . . . . 6 (𝑘 = (1r𝐹) → (𝑋 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑋 = ((1r𝐹) · 𝑋)))
1615rspcev 3298 . . . . 5 (((1r𝐹) ∈ 𝐾𝑋 = ((1r𝐹) · 𝑋)) → ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋))
1711, 13, 16syl2anc 692 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋))
18 eqeq1 2625 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
1918rexbidv 3046 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
2019elabg 3338 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
2120adantl 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
2217, 21mpbird 247 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
231, 2, 3, 8, 22lspsnel5a 18928 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
243adantr 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
254, 1, 2lspsncl 18909 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2625adantr 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
27 simpr 477 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑘𝐾)
284, 2lspsnid 18925 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
2928adantr 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
305, 6, 7, 1lssvscl 18887 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝑘𝐾𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
3124, 26, 27, 29, 30syl22anc 1324 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
32 eleq1a 2693 . . . . 5 ((𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
3331, 32syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
3433rexlimdva 3025 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
3534abssdv 3660 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
3623, 35eqssd 3604 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wrex 2908  {csn 4153  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15792  Scalarcsca 15876   ·𝑠 cvsca 15877  1rcur 18433  LModclmod 18795  LSubSpclss 18864  LSpanclspn 18903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-plusg 15886  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-lsp 18904
This theorem is referenced by:  lspsnel  18935  rnascl  19275  ldual1dim  33968  dia1dim2  35866  dib1dim2  35972  diclspsn  35998  dih1dimatlem  36133
  Copyright terms: Public domain W3C validator