MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnat 19846
Description: There is no subspace strictly between the zero subspace and the span of a vector (i.e. a 1-dimensional subspace is an atom). (h1datomi 29285 analog.) (Contributed by NM, 20-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnat.z 0 = (0g𝑊)
lspsnat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsnat (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑈 = { 0 }))

Proof of Theorem lspsnat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4307 . . . . . 6 ((𝑈 ∖ { 0 }) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
2 simprl 767 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
3 lspsnat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4 lspsnat.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 simpl1 1183 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑊 ∈ LVec)
6 lveclmod 19807 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑊 ∈ LMod)
8 simpl2 1184 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈𝑆)
9 simprr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
109eldifad 3945 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥𝑈)
113, 4, 7, 8, 10lspsnel5a 19697 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
12 0ss 4347 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ⊆ 𝑉
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → ∅ ⊆ 𝑉)
14 simpl3 1185 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋𝑉)
15 ssdif 4113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
1615ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
1716, 9sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
18 uncom 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∅ ∪ {𝑋}) = ({𝑋} ∪ ∅)
19 un0 4341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑋} ∪ ∅) = {𝑋}
2018, 19eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∅ ∪ {𝑋}) = {𝑋}
2120fveq2i 6666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) = (𝑁‘{𝑋})
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
23 lspsnat.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (0g𝑊)
2423, 4lsp0 19710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘∅) = { 0 })
257, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘∅) = { 0 })
2622, 25difeq12d 4097 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)) = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
2717, 26eleqtrrd 2913 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)))
28 lspsnat.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (Base‘𝑊)
2928, 3, 4lspsolv 19844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (∅ ⊆ 𝑉𝑋𝑉𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
305, 13, 14, 27, 29syl13anc 1364 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
31 uncom 4126 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ ∅)
32 un0 4341 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑥} ∪ ∅) = {𝑥}
3331, 32eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∪ {𝑥}) = {𝑥}
3433fveq2i 6666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})) = (𝑁‘{𝑥})
3530, 34eleqtrdi 2920 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
3611, 35sseldd 3965 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋𝑈)
373, 4, 7, 8, 36lspsnel5a 19697 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
382, 37eqssd 3981 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))
3938expr 457 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
4039exlimdv 1925 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
411, 40syl5bi 243 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝑈 ∖ { 0 }) ≠ ∅ → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
4241necon1bd 3031 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → (𝑈 ∖ { 0 }) = ∅))
43 ssdif0 4320 . . . 4 (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ (𝑈 ∖ { 0 }) = ∅)
4442, 43syl6ibr 253 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → 𝑈 ⊆ { 0 }))
45 simpl1 1183 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LVec)
4645, 6syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
47 simpl2 1184 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑈𝑆)
4823, 3lssle0 19650 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ 𝑈 = { 0 }))
4946, 47, 48syl2anc 584 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ 𝑈 = { 0 }))
5044, 49sylibd 240 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → 𝑈 = { 0 }))
5150orrd 857 1 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑈 = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  cdif 3930  cun 3931  wss 3933  c0 4288  {csn 4557  cfv 6348  Basecbs 16471  0gc0g 16701  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632  LSpanclspn 19672  LVecclvec 19803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804
This theorem is referenced by:  lspsncv0  19847  lsatcmp  36019  dihlspsnssN  38348  dihlspsnat  38349
  Copyright terms: Public domain W3C validator