MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnat 19077
Description: There is no subspace strictly between the zero subspace and the span of a vector (i.e. a 1-dimensional subspace is an atom). (h1datomi 28310 analog.) (Contributed by NM, 20-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnat.z 0 = (0g𝑊)
lspsnat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsnat (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑈 = { 0 }))

Proof of Theorem lspsnat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3912 . . . . . 6 ((𝑈 ∖ { 0 }) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
2 simprl 793 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
3 lspsnat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4 lspsnat.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 simpl1 1062 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑊 ∈ LVec)
6 lveclmod 19038 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑊 ∈ LMod)
8 simpl2 1063 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈𝑆)
9 simprr 795 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
109eldifad 3571 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥𝑈)
113, 4, 7, 8, 10lspsnel5a 18928 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
12 0ss 3949 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ⊆ 𝑉
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → ∅ ⊆ 𝑉)
14 simpl3 1064 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋𝑉)
15 ssdif 3728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
1615ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
1716, 9sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
18 uncom 3740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∅ ∪ {𝑋}) = ({𝑋} ∪ ∅)
19 un0 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑋} ∪ ∅) = {𝑋}
2018, 19eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∅ ∪ {𝑋}) = {𝑋}
2120fveq2i 6156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) = (𝑁‘{𝑋})
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
23 lspsnat.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (0g𝑊)
2423, 4lsp0 18941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘∅) = { 0 })
257, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘∅) = { 0 })
2622, 25difeq12d 3712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)) = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
2717, 26eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)))
28 lspsnat.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (Base‘𝑊)
2928, 3, 4lspsolv 19075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (∅ ⊆ 𝑉𝑋𝑉𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
305, 13, 14, 27, 29syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
31 uncom 3740 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ ∅)
32 un0 3944 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑥} ∪ ∅) = {𝑥}
3331, 32eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∪ {𝑥}) = {𝑥}
3433fveq2i 6156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})) = (𝑁‘{𝑥})
3530, 34syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
3611, 35sseldd 3588 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋𝑈)
373, 4, 7, 8, 36lspsnel5a 18928 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
382, 37eqssd 3604 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))
3938expr 642 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
4039exlimdv 1858 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
411, 40syl5bi 232 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝑈 ∖ { 0 }) ≠ ∅ → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
4241necon1bd 2808 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → (𝑈 ∖ { 0 }) = ∅))
43 ssdif0 3921 . . . 4 (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ (𝑈 ∖ { 0 }) = ∅)
4442, 43syl6ibr 242 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → 𝑈 ⊆ { 0 }))
45 simpl1 1062 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LVec)
4645, 6syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
47 simpl2 1063 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑈𝑆)
4823, 3lssle0 18882 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ 𝑈 = { 0 }))
4946, 47, 48syl2anc 692 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ 𝑈 = { 0 }))
5044, 49sylibd 229 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → 𝑈 = { 0 }))
5150orrd 393 1 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑈 = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  cdif 3556  cun 3557  wss 3559  c0 3896  {csn 4153  cfv 5852  Basecbs 15792  0gc0g 16032  LModclmod 18795  LSubSpclss 18864  LSpanclspn 18903  LVecclvec 19034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-oppr 18555  df-dvdsr 18573  df-unit 18574  df-invr 18604  df-drng 18681  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-lsp 18904  df-lvec 19035
This theorem is referenced by:  lspsncv0  19078  lsatcmp  33805  dihlspsnssN  36136  dihlspsnat  36137
  Copyright terms: Public domain W3C validator