Theorem lspsncl 18896

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 18895). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4308	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 18895	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 491	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3555  {csn 4148  ‘cfv 5847  Basecbs 15781  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LSpanclspn 18890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  18899  lspsneli  18920  lspsn  18921  lspsnss2  18924  lsmelval2  19004  lsmpr  19008  lsppr  19012  lspprabs  19014  lspsncmp  19035  lspsnne1  19036  lspsnne2  19037  lspabs3  19040  lspsneq  19041  lspdisj  19044  lspdisj2  19046  lspfixed  19047  lspexchn1  19049  lspindpi  19051  lsmcv  19060  lshpnel  33747  lshpnelb  33748  lshpnel2N  33749  lshpdisj  33751  lsatlss  33760  lsmsat  33772  lsatfixedN  33773  lssats  33776  lsmcv2  33793  lsat0cv  33797  lkrlsp  33866  lkrlsp3  33868  lshpsmreu  33873  lshpkrlem5  33878  dochnel  36159  djhlsmat  36193  dihjat1lem  36194  dvh3dim3N  36215  lclkrlem2b  36274  lclkrlem2f  36278  lclkrlem2p  36288  lcfrvalsnN  36307  lcfrlem23  36331  mapdsn  36407  mapdn0  36435  mapdncol  36436  mapdindp  36437  mapdpglem1  36438  mapdpglem2a  36440  mapdpglem3  36441  mapdpglem6  36444  mapdpglem8  36445  mapdpglem9  36446  mapdpglem12  36449  mapdpglem13  36450  mapdpglem14  36451  mapdpglem17N  36454  mapdpglem18  36455  mapdpglem19  36456  mapdpglem21  36458  mapdpglem23  36460  mapdpglem29  36466  mapdindp0  36485  mapdheq4lem  36497  mapdh6lem1N  36499  mapdh6lem2N  36500  mapdh6dN  36505  lspindp5  36536  hdmaplem3  36539  mapdh9a  36556  hdmap1l6lem1  36574  hdmap1l6lem2  36575  hdmap1l6d  36580  hdmap1eulem  36590  hdmap11lem2  36611  hdmapeq0  36613  hdmaprnlem1N  36618  hdmaprnlem3N  36619  hdmaprnlem3uN  36620  hdmaprnlem4N  36622  hdmaprnlem7N  36624  hdmaprnlem8N  36625  hdmaprnlem9N  36626  hdmaprnlem3eN  36627  hdmaprnlem16N  36631  hdmap14lem9  36645  hgmaprnlem2N  36666  hdmapglem7a  36696