Theorem lspsncl 19100

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 19099). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4447	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 19099	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 492	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ⊆ wss 3680  {csn 4285  ‘cfv 6001  Basecbs 15980  LModclmod 18986  LSubSpclss 19055  LSpanclspn 19094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-plusg 16077  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-lmod 18988  df-lss 19056  df-lsp 19095

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  19103  lspsneli  19124  lspsn  19125  lspsnss2  19128  lsmelval2  19208  lsmpr  19212  lsppr  19216  lspprabs  19218  lspsncmp  19239  lspsnne1  19240  lspsnne2  19241  lspabs3  19244  lspsneq  19245  lspdisj  19248  lspdisj2  19250  lspfixed  19251  lspexchn1  19253  lspindpi  19255  lsmcv  19264  lshpnel  34690  lshpnelb  34691  lshpnel2N  34692  lshpdisj  34694  lsatlss  34703  lsmsat  34715  lsatfixedN  34716  lssats  34719  lsmcv2  34736  lsat0cv  34740  lkrlsp  34809  lkrlsp3  34811  lshpsmreu  34816  lshpkrlem5  34821  dochnel  37101  djhlsmat  37135  dihjat1lem  37136  dvh3dim3N  37157  lclkrlem2b  37216  lclkrlem2f  37220  lclkrlem2p  37230  lcfrvalsnN  37249  lcfrlem23  37273  mapdsn  37349  mapdn0  37377  mapdncol  37378  mapdindp  37379  mapdpglem1  37380  mapdpglem2a  37382  mapdpglem3  37383  mapdpglem6  37386  mapdpglem8  37387  mapdpglem9  37388  mapdpglem12  37391  mapdpglem13  37392  mapdpglem14  37393  mapdpglem17N  37396  mapdpglem18  37397  mapdpglem19  37398  mapdpglem21  37400  mapdpglem23  37402  mapdpglem29  37408  mapdindp0  37427  mapdheq4lem  37439  mapdh6lem1N  37441  mapdh6lem2N  37442  mapdh6dN  37447  lspindp5  37478  hdmaplem3  37481  mapdh9a  37498  hdmap1l6lem1  37516  hdmap1l6lem2  37517  hdmap1l6d  37522  hdmap1eulem  37532  hdmap11lem2  37553  hdmapeq0  37555  hdmaprnlem1N  37560  hdmaprnlem3N  37561  hdmaprnlem3uN  37562  hdmaprnlem4N  37564  hdmaprnlem7N  37566  hdmaprnlem8N  37567  hdmaprnlem9N  37568  hdmaprnlem3eN  37569  hdmaprnlem16N  37573  hdmap14lem9  37587  hgmaprnlem2N  37608  hdmapglem7a  37638