Theorem lspsncl 19751

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 19750). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4743	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 19750	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 594	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938  {csn 4569  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  LModclmod 19636  LSubSpclss 19705  LSpanclspn 19745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  19754  lspsneli  19775  lspsn  19776  lspsnss2  19779  lsmelval2  19859  lsmpr  19863  lsppr  19867  lspprabs  19869  lspsncmp  19890  lspsnne1  19891  lspsnne2  19892  lspabs3  19895  lspsneq  19896  lspdisj  19899  lspdisj2  19901  lspfixed  19902  lspexchn1  19904  lspindpi  19906  lsmcv  19915  lshpnel  36121  lshpnelb  36122  lshpnel2N  36123  lshpdisj  36125  lsatlss  36134  lsmsat  36146  lsatfixedN  36147  lssats  36150  lsmcv2  36167  lsat0cv  36171  lkrlsp  36240  lkrlsp3  36242  lshpsmreu  36247  lshpkrlem5  36252  dochnel  38531  djhlsmat  38565  dihjat1lem  38566  dvh3dim3N  38587  lclkrlem2b  38646  lclkrlem2f  38650  lclkrlem2p  38660  lcfrvalsnN  38679  lcfrlem23  38703  mapdsn  38779  mapdn0  38807  mapdncol  38808  mapdindp  38809  mapdpglem1  38810  mapdpglem2a  38812  mapdpglem3  38813  mapdpglem6  38816  mapdpglem8  38817  mapdpglem9  38818  mapdpglem12  38821  mapdpglem13  38822  mapdpglem14  38823  mapdpglem17N  38826  mapdpglem18  38827  mapdpglem19  38828  mapdpglem21  38830  mapdpglem23  38832  mapdpglem29  38838  mapdindp0  38857  mapdheq4lem  38869  mapdh6lem1N  38871  mapdh6lem2N  38872  mapdh6dN  38877  lspindp5  38908  hdmaplem3  38911  mapdh9a  38927  hdmap1l6lem1  38945  hdmap1l6lem2  38946  hdmap1l6d  38951  hdmap1eulem  38960  hdmap11lem2  38980  hdmapeq0  38982  hdmaprnlem1N  38987  hdmaprnlem3N  38988  hdmaprnlem3uN  38989  hdmaprnlem4N  38991  hdmaprnlem7N  38993  hdmaprnlem8N  38994  hdmaprnlem9N  38995  hdmaprnlem3eN  38996  hdmaprnlem16N  39000  hdmap14lem9  39014  hgmaprnlem2N  39035  hdmapglem7a  39065