MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsncv0 19060
Description: The span of a singleton covers the zero subspace, using Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68 for "covers".) (Contributed by NM, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsncv0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsncv0.z 0 = (0g𝑊)
lspsncv0.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsncv0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsncv0.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspsncv0.x (𝜑𝑋𝑉)
lspsncv0.e (𝜑𝑋0 )
Assertion
Ref Expression
lspsncv0 (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
Distinct variable group:   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)   𝑊(𝑦)   𝑋(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lspsncv0
StepHypRef Expression
1 df-pss 3576 . . . . 5 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦))
2 simpr 477 . . . . . 6 (({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦) → { 0 } ≠ 𝑦)
3 nesym 2852 . . . . . 6 ({ 0 } ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = { 0 })
42, 3sylib 208 . . . . 5 (({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦) → ¬ 𝑦 = { 0 })
51, 4sylbi 207 . . . 4 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 = { 0 })
6 lspsncv0.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
76ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LVec)
8 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦𝑆)
9 lspsncv0.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑉)
109ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋𝑉)
11 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
12 lspsncv0.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 lspsncv0.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑊)
14 lspsncv0.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
15 lspsncv0.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1612, 13, 14, 15lspsnat 19059 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑦𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
177, 8, 10, 11, 16syl31anc 1326 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
1817orcomd 403 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = { 0 } ∨ 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
1918ord 392 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
2019ex 450 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
2120com23 86 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
22 npss 3700 . . . . 5 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋}) ↔ (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
2321, 22syl6ibr 242 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
245, 23syl5 34 . . 3 ((𝜑𝑦𝑆) → ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
2524ralrimiva 2965 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
26 ralinexa 2996 . 2 (∀𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ¬ ∃𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
2725, 26sylib 208 1 (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  wss 3560  wpss 3561  {csn 4153  cfv 5850  Basecbs 15776  0gc0g 16016  LSubSpclss 18846  LSpanclspn 18885  LVecclvec 19016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-invr 18588  df-drng 18665  df-lmod 18781  df-lss 18847  df-lsp 18886  df-lvec 19017
This theorem is referenced by:  lsatcv0  33784
  Copyright terms: Public domain W3C validator