MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel5a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnel5a 18915
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5a.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel5a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel5a.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspsnel5a.a (𝜑𝑈𝑆)
lspsnel5a.x (𝜑𝑋𝑈)
Assertion
Ref Expression
lspsnel5a (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspsnel5a
StepHypRef Expression
1 lspsnel5a.x . 2 (𝜑𝑋𝑈)
2 eqid 2621 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 lspsnel5a.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4 lspsnel5a.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 lspsnel5a.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lspsnel5a.a . . 3 (𝜑𝑈𝑆)
72, 3lssel 18857 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
86, 1, 7syl2anc 692 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
92, 3, 4, 5, 6, 8lspsnel5 18914 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
101, 9mpbid 222 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  {csn 4148  cfv 5847  Basecbs 15781  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LSpanclspn 18890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891
This theorem is referenced by:  lssats2  18919  lspsn  18921  lspsnvsi  18923  lsmelval2  19004  lspprabs  19014  lspvadd  19015  lspabs3  19040  lsmcv  19060  lspsnat  19064  lsppratlem6  19071  issubassa2  19264  lshpnel  33750  lsatel  33772  lsmsat  33775  lssatomic  33778  lssats  33779  lsat0cv  33800  dia2dimlem10  35842  dochsatshpb  36221  lclkrlem2f  36281  lcfrlem25  36336  lcfrlem35  36346  mapdval2N  36399  mapdrvallem2  36414  mapdpglem8  36448  mapdpglem13  36453  mapdindp0  36488  mapdh6aN  36504  mapdh8e  36553  mapdh9a  36559  hdmap1l6a  36579  hdmapval0  36605  hdmapval3lemN  36609  hdmap10lem  36611  hdmap11lem1  36613  hdmap11lem2  36614  hdmaprnlem4N  36625  hdmaprnlem3eN  36630
  Copyright terms: Public domain W3C validator