Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnel6 19042
 Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnel5.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel5.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel5.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspsnel5.a (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
lspsnel6 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))

Proof of Theorem lspsnel6
StepHypRef Expression
1 lspsnel5.a . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
2 lspsnel5.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lspsnel5.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lssel 18986 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
51, 4sylan 487 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
6 lspsnel5.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
81adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈𝑆)
9 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
10 lspsnel5.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
113, 10lspsnss 19038 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
127, 8, 9, 11syl3anc 1366 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
135, 12jca 553 . 2 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
142, 10lspsnid 19041 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
156, 14sylan 487 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
16 ssel 3630 . . . 4 ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑋𝑈))
1715, 16syl5com 31 . . 3 ((𝜑𝑋𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈𝑋𝑈))
1817impr 648 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)) → 𝑋𝑈)
1913, 18impbida 895 1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020 This theorem is referenced by:  lspsnel5  19043  lsmelval2  19133  dihjat1lem  37034
 Copyright terms: Public domain W3C validator