MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsneleq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsneleq 19816
Description: Membership relation that implies equality of spans. (spansneleq 29274 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneleq.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneleq.o 0 = (0g𝑊)
lspsneleq.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneleq.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspsneleq.x (𝜑𝑋𝑉)
lspsneleq.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
lspsneleq.z (𝜑𝑌0 )
Assertion
Ref Expression
lspsneleq (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsneleq
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsneleq.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
2 lspsneleq.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 19807 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lspsneleq.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
6 eqid 2818 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8 lspsneleq.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 eqid 2818 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
10 lspsneleq.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
116, 7, 8, 9, 10lspsnel 19704 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)))
124, 5, 11syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)))
13 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))
1413sneqd 4569 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → {𝑌} = {(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)})
1514fveq2d 6667 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}))
162ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → 𝑊 ∈ LVec)
17 simplr 765 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18 lspsneleq.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑌0 )
1918ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → 𝑌0 )
20 simplr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))
21 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
2221oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋))
23 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
24 lspsneleq.o . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g𝑊)
258, 6, 9, 23, 24lmod0vs 19596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 )
264, 5, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 )
2726ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 )
2820, 22, 273eqtrd 2857 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∧ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑌 = 0 )
2928ex 413 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → 𝑌 = 0 ))
3029necon3d 3034 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → (𝑌0𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
3119, 30mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
325ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → 𝑋𝑉)
338, 6, 9, 7, 23, 10lspsnvs 19815 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
3416, 17, 31, 32, 33syl121anc 1367 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{(𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
3515, 34eqtrd 2853 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
3635rexlimdva2 3284 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑌 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋})))
3712, 36sylbid 241 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋})))
381, 37mpd 15 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  {csn 4557  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701  LModclmod 19563  LSpanclspn 19672  LVecclvec 19803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804
This theorem is referenced by:  lspsncmp  19817  lspsnel4  19825  lspdisj2  19828  lspexch  19830  lsmcv  19842  mapdpglem10  38697  mapdpglem15  38702
  Copyright terms: Public domain W3C validator