Theorem lspsneq 19888

Description: Equal spans of singletons must have proportional vectors. See lspsnss2 19771 for comparable span version. TODO: can proof be shortened? (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneq.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lspsneq.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lspsneq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lspsneq.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsneq.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsneq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsneq	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   0 ,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem lspsneq

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneq.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 19872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspsneq.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5	4	lmodring 19636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
6		lspsneq.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
7		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
8	6, 7	ringidcl 19312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ 𝐾)
9	3, 5, 8	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝐾)
10	4	lvecdrng 19871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
11		lspsneq.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
12	11, 7	drngunz 19511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ DivRing → (1r‘𝑆) ≠ 0 )
13	1, 10, 12	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ 0 )
14		eldifsn 4712	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ ((1r‘𝑆) ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑆) ≠ 0 ))
15	9, 13, 14	sylanbrc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
16	15	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → (1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
17		lspsneq.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
18		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
19	17, 18	lmod0vcl 19657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
20		lspsneq.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
21	17, 4, 20, 7	lmodvs1 19656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
22	3, 19, 21	syl2anc2 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
23	22	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
24		oveq2 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑊) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)))
25	24	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)))
26		lspsneq.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
27	3	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LMod)
28		lspsneq.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
29	28	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
30		lspsneq.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
31	30	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
32		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
33	17, 18, 26, 27, 29, 31, 32	lspsneq0b 19779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g‘𝑊) ↔ 𝑌 = (0g‘𝑊)))
34	33	biimpar 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = (0g‘𝑊))
35	23, 25, 34	3eqtr4rd 2867	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = ((1r‘𝑆) · 𝑌))
36		oveq1 7157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (1r‘𝑆) → (𝑗 · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · 𝑌))
37	36	rspceeqv 3637	. . . . . 6 ⊢ (((1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ∧ 𝑋 = ((1r‘𝑆) · 𝑌)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
38	16, 35, 37	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
39		eqimss 4022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
40	39	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
41		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
42	17, 41, 26	lspsncl 19743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
43	3, 30, 42	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
44	43	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
45	17, 41, 26, 27, 44, 29	lspsnel5 19761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
46	40, 45	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
47	4, 6, 17, 20, 26	lspsnel 19769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
48	27, 31, 47	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
49	46, 48	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
50	49	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
51		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ 𝐾)
52		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
53	52	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
54	33	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g‘𝑊) → 𝑌 = (0g‘𝑊)))
55	54	necon3d 3037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑌 ≠ (0g‘𝑊) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊)))
56	55	imp 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
57	56	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
58	53, 57	eqnetrrd 3084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗 · 𝑌) ≠ (0g‘𝑊))
59	1	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
60	59	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
61	31	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
62	17, 20, 4, 6, 11, 18, 60, 51, 61	lvecvsn0 19875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → ((𝑗 · 𝑌) ≠ (0g‘𝑊) ↔ (𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊))))
63	58, 62	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)))
64	63	simpld 497	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ≠ 0 )
65		eldifsn 4712	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ≠ 0 ))
66	51, 64, 65	sylanbrc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
67	50, 66, 53	reximssdv 3276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
68	38, 67	pm2.61dane 3104	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
69	68	ex 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
70	1	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
71		eldifi 4102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗 ∈ 𝐾)
72	71	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ 𝐾)
73		eldifsni 4715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗 ≠ 0 )
74	73	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗 ≠ 0 )
75	30	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑌 ∈ 𝑉)
76	17, 4, 20, 6, 11, 26	lspsnvs 19880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ≠ 0 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
77	70, 72, 74, 75, 76	syl121anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
78	77	ex 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
79		sneq 4570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → {𝑋} = {(𝑗 · 𝑌)})
80	79	fveqeq2d 6672	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
81	80	biimprcd 252	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
82	78, 81	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))))
83	82	rexlimdv 3283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
84	69, 83	impbid 214	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
85		oveq1 7157	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑌) = (𝑘 · 𝑌))
86	85	eqeq2d 2832	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
87	86	cbvrexvw 3450	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌))
88	84, 87	syl6bb 289	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139   ∖ cdif 3932   ⊆ wss 3935  {csn 4560  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562   ·_𝑠 cvsca 16563  0_gc0g 16707  1_rcur 19245  Ringcrg 19291  DivRingcdr 19496  LModclmod 19628  LSubSpclss 19697  LSpanclspn 19737  LVecclvec 19868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-drng 19498  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-lvec 19869

This theorem is referenced by:  lspsneu  19889  mapdpglem26  38828  mapdpglem27  38829  hdmap14lem2a  38997  hdmap14lem2N  38999  prjsprellsp  39254