MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsneq 19041
Description: Equal spans of singletons must have proportional vectors. See lspsnss2 18924 for comparable span version. TODO: can proof be shortened? (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneq.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneq.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lspsneq.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
lspsneq.o 0 = (0g𝑆)
lspsneq.t · = ( ·𝑠𝑊)
lspsneq.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneq.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspsneq.x (𝜑𝑋𝑉)
lspsneq.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspsneq (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   0 ,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem lspsneq
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsneq.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19025 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lspsneq.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
54lmodring 18792 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
6 lspsneq.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝑆)
7 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (1r𝑆) = (1r𝑆)
86, 7ringidcl 18489 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → (1r𝑆) ∈ 𝐾)
93, 5, 83syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑆) ∈ 𝐾)
104lvecdrng 19024 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
11 lspsneq.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑆)
1211, 7drngunz 18683 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ DivRing → (1r𝑆) ≠ 0 )
131, 10, 123syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑆) ≠ 0 )
14 eldifsn 4287 . . . . . . . 8 ((1r𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ ((1r𝑆) ∈ 𝐾 ∧ (1r𝑆) ≠ 0 ))
159, 13, 14sylanbrc 697 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
1615ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → (1r𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
17 lspsneq.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Base‘𝑊)
18 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑊) = (0g𝑊)
1917, 18lmod0vcl 18813 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
201, 2, 193syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
21 lspsneq.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
2217, 4, 21, 7lmodvs1 18812 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉) → ((1r𝑆) · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
233, 20, 22syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1r𝑆) · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
2423ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → ((1r𝑆) · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
25 oveq2 6612 . . . . . . . 8 (𝑌 = (0g𝑊) → ((1r𝑆) · 𝑌) = ((1r𝑆) · (0g𝑊)))
2625adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → ((1r𝑆) · 𝑌) = ((1r𝑆) · (0g𝑊)))
27 lspsneq.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
283adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LMod)
29 lspsneq.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑉)
3029adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋𝑉)
31 lspsneq.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑉)
3231adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌𝑉)
33 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3417, 18, 27, 28, 30, 32, 33lspsneq0b 18932 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g𝑊) ↔ 𝑌 = (0g𝑊)))
3534biimpar 502 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → 𝑋 = (0g𝑊))
3624, 26, 353eqtr4rd 2666 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → 𝑋 = ((1r𝑆) · 𝑌))
37 oveq1 6611 . . . . . . . 8 (𝑗 = (1r𝑆) → (𝑗 · 𝑌) = ((1r𝑆) · 𝑌))
3837eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑗 = (1r𝑆) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = ((1r𝑆) · 𝑌)))
3938rspcev 3295 . . . . . 6 (((1r𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ∧ 𝑋 = ((1r𝑆) · 𝑌)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
4016, 36, 39syl2anc 692 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
41 eqimss 3636 . . . . . . . . . 10 ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
4241adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
43 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4417, 43, 27lspsncl 18896 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
453, 31, 44syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4645adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4717, 43, 27, 28, 46, 30lspsnel5 18914 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
4842, 47mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
494, 6, 17, 21, 27lspsnel 18922 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
5028, 32, 49syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
5148, 50mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
5251adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ∃𝑗𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
53 simprl 793 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗𝐾)
54 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
5554adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
5634biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g𝑊) → 𝑌 = (0g𝑊)))
5756necon3d 2811 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑌 ≠ (0g𝑊) → 𝑋 ≠ (0g𝑊)))
5857imp 445 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑋 ≠ (0g𝑊))
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 ≠ (0g𝑊))
6055, 59eqnetrrd 2858 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗 · 𝑌) ≠ (0g𝑊))
611adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
6261ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
6332ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑌𝑉)
6417, 21, 4, 6, 11, 18, 62, 53, 63lvecvsn0 19028 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → ((𝑗 · 𝑌) ≠ (0g𝑊) ↔ (𝑗0𝑌 ≠ (0g𝑊))))
6560, 64mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗0𝑌 ≠ (0g𝑊)))
6665simpld 475 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗0 )
67 eldifsn 4287 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ (𝑗𝐾𝑗0 ))
6853, 66, 67sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
6968, 55jca 554 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
7069ex 450 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌)) → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))))
7170reximdv2 3008 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∃𝑗𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
7252, 71mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
7340, 72pm2.61dane 2877 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
7473ex 450 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
751adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
76 eldifi 3710 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗𝐾)
7776adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗𝐾)
78 eldifsni 4289 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗0 )
7978adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗0 )
8031adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑌𝑉)
8117, 4, 21, 6, 11, 27lspsnvs 19033 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑗𝐾𝑗0 ) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
8275, 77, 79, 80, 81syl121anc 1328 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
8382ex 450 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
84 sneq 4158 . . . . . . . 8 (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → {𝑋} = {(𝑗 · 𝑌)})
8584fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}))
8685eqeq1d 2623 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
8786biimprcd 240 . . . . 5 ((𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
8883, 87syl6 35 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))))
8988rexlimdv 3023 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
9074, 89impbid 202 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
91 oveq1 6611 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑌) = (𝑘 · 𝑌))
9291eqeq2d 2631 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
9392cbvrexv 3160 . 2 (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌))
9490, 93syl6bb 276 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  cdif 3552  wss 3555  {csn 4148  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  0gc0g 16021  1rcur 18422  Ringcrg 18468  DivRingcdr 18668  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LSpanclspn 18890  LVecclvec 19021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022
This theorem is referenced by:  lspsneu  19042  mapdpglem26  36464  mapdpglem27  36465  hdmap14lem2a  36636  hdmap14lem2N  36638
  Copyright terms: Public domain W3C validator