MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnid 18912
Description: A vector belongs to the span of its singleton. (spansnid 28271 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnid.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnid.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsnid ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsnid
StepHypRef Expression
1 snssi 4308 . . 3 (𝑋𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2 lspsnid.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lspsnid.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
42, 3lspssid 18904 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
51, 4sylan2 491 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
6 snssg 4296 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋})))
76adantl 482 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑋})))
85, 7mpbird 247 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  {csn 4148  cfv 5847  Basecbs 15781  LModclmod 18784  LSpanclspn 18890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891
This theorem is referenced by:  lspsnel6  18913  lssats2  18919  lspsneli  18920  lspsn  18921  lspsneq0  18931  lsmelval2  19004  lspprabs  19014  lspabs3  19040  lspsnel4  19043  lspdisjb  19045  lspfixed  19047  lshpnelb  33751  lsateln0  33762  lssats  33779  dia1dimid  35832  dochnel  36162  dihjat1lem  36197  dochsnkr2cl  36243  lcfrvalsnN  36310  lcfrlem15  36326  mapdpglem2  36442  mapdpglem9  36449  mapdpglem12  36452  mapdpglem14  36454  mapdindp0  36488  mapdindp3  36491  hdmap11lem2  36614  hdmaprnlem3N  36622  hdmaprnlem7N  36627  hdmaprnlem8N  36628  hdmaprnlem3eN  36630  hdmaplkr  36685
  Copyright terms: Public domain W3C validator