Theorem lspsnss 19765

Description: The span of the singleton of a subspace member is included in the subspace. (spansnss 29351 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnss	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspsnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4744	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → {𝑋} ⊆ 𝑈)
2		lspsnss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lspsnss.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	2, 3	lspssp 19763	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
5	1, 4	syl3an3 1161	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3939  {csn 4570  ‘cfv 6358  LModclmod 19637  LSubSpclss 19706  LSpanclspn 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747

This theorem is referenced by:  lspsnel3  19766  lspsnel6  19769