Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsntri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsntri 19037
 Description: Triangle-type inequality for span of a singleton. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsntri.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsntri.a + = (+g𝑊)
lspsntri.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsntri.p = (LSSum‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsntri ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lspsntri
StepHypRef Expression
1 lspsntri.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspsntri.a . . . 4 + = (+g𝑊)
3 lspsntri.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
41, 2, 3lspvadd 19036 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
5 df-pr 4158 . . . 4 {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
65fveq2i 6161 . . 3 (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
74, 6syl6sseq 3636 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
8 simp1 1059 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9 simp2 1060 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋𝑉)
109snssd 4316 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
11 simp3 1061 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
1211snssd 4316 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑌} ⊆ 𝑉)
13 lspsntri.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
141, 3, 13lsmsp2 19027 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
158, 10, 12, 14syl3anc 1323 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
167, 15sseqtr4d 3627 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∪ cun 3558   ⊆ wss 3560  {csn 4155  {cpr 4157  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  LSSumclsm 17989  LModclmod 18803  LSpanclspn 18911 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-subg 17531  df-cntz 17690  df-lsm 17991  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-lsp 18912 This theorem is referenced by:  lspsntrim  19038  cdlemn4a  36007  lcfrlem23  36373  baerlem5blem2  36520
 Copyright terms: Public domain W3C validator