MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsntrim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsntrim 19298
Description: Triangle-type inequality for span of a singleton of vector difference. (Contributed by NM, 25-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsntrim.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsntrim.s = (-g𝑊)
lspsntrim.p = (LSSum‘𝑊)
lspsntrim.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsntrim ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lspsntrim
StepHypRef Expression
1 lspsntrim.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2758 . . . . 5 (invg𝑊) = (invg𝑊)
31, 2lmodvnegcl 19104 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → ((invg𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉)
433adant2 1126 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((invg𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉)
5 eqid 2758 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
6 lspsntrim.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7 lspsntrim.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
81, 5, 6, 7lspsntri 19297 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ ((invg𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑌))}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑌)})))
94, 8syld3an3 1516 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑋(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑌))}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑌)})))
10 lspsntrim.s . . . . . 6 = (-g𝑊)
111, 5, 2, 10grpsubval 17664 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑌)))
1211sneqd 4331 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {(𝑋 𝑌)} = {(𝑋(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑌))})
1312fveq2d 6354 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑌))}))
14133adant1 1125 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑌))}))
151, 2, 6lspsnneg 19206 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
16153adant2 1126 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
1716eqcomd 2764 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑌)}))
1817oveq2d 6827 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑌)})))
199, 14, 183sstr4d 3787 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  wss 3713  {csn 4319  cfv 6047  (class class class)co 6811  Basecbs 16057  +gcplusg 16141  invgcminusg 17622  -gcsg 17623  LSSumclsm 18247  LModclmod 19063  LSpanclspn 19171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-0g 16302  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-subg 17790  df-cntz 17948  df-lsm 18249  df-cmn 18393  df-abl 18394  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-lmod 19065  df-lss 19133  df-lsp 19172
This theorem is referenced by:  mapdpglem1  37461  baerlem3lem2  37499  baerlem5alem2  37500  baerlem5blem2  37501
  Copyright terms: Public domain W3C validator