MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnvs 19108
Description: A nonzero scalar product does not change the span of a singleton. (spansncol 28411 analog.) (Contributed by NM, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnvs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnvs.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsnvs.t · = ( ·𝑠𝑊)
lspsnvs.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsnvs.o 0 = (0g𝐹)
lspsnvs.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsnvs ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsnvs
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19100 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
213ad2ant1 1081 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simp2l 1086 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑅𝐾)
4 simp3 1062 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
5 lspsnvs.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 lspsnvs.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
7 lspsnvs.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 lspsnvs.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
9 lspsnvs.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
105, 6, 7, 8, 9lspsnvsi 18998 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
112, 3, 4, 10syl3anc 1325 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
125lvecdrng 19099 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
13123ad2ant1 1081 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ DivRing)
14 simp2r 1087 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑅0 )
15 lspsnvs.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐹)
16 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (.r𝐹) = (.r𝐹)
17 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (1r𝐹) = (1r𝐹)
18 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (invr𝐹) = (invr𝐹)
196, 15, 16, 17, 18drnginvrl 18760 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑅𝐾𝑅0 ) → (((invr𝐹)‘𝑅)(.r𝐹)𝑅) = (1r𝐹))
2013, 3, 14, 19syl3anc 1325 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (((invr𝐹)‘𝑅)(.r𝐹)𝑅) = (1r𝐹))
2120oveq1d 6662 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → ((((invr𝐹)‘𝑅)(.r𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((1r𝐹) · 𝑋))
226, 15, 18drnginvrcl 18758 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑅𝐾𝑅0 ) → ((invr𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾)
2313, 3, 14, 22syl3anc 1325 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → ((invr𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾)
247, 5, 8, 6, 16lmodvsass 18882 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((((invr𝐹)‘𝑅)(.r𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((invr𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)))
252, 23, 3, 4, 24syl13anc 1327 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → ((((invr𝐹)‘𝑅)(.r𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((invr𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)))
267, 5, 8, 17lmodvs1 18885 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
272, 4, 26syl2anc 693 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
2821, 25, 273eqtr3d 2663 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (((invr𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)) = 𝑋)
2928sneqd 4187 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → {(((invr𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))} = {𝑋})
3029fveq2d 6193 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{(((invr𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) = (𝑁‘{𝑋}))
317, 5, 8, 6lmodvscl 18874 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
322, 3, 4, 31syl3anc 1325 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
335, 6, 7, 8, 9lspsnvsi 18998 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾 ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invr𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
342, 23, 32, 33syl3anc 1325 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{(((invr𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
3530, 34eqsstr3d 3638 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
3611, 35eqssd 3618 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  wss 3572  {csn 4175  cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  .rcmulr 15936  Scalarcsca 15938   ·𝑠 cvsca 15939  0gc0g 16094  1rcur 18495  invrcinvr 18665  DivRingcdr 18741  LModclmod 18857  LSpanclspn 18965  LVecclvec 19096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-tpos 7349  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-sbg 17421  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-oppr 18617  df-dvdsr 18635  df-unit 18636  df-invr 18666  df-drng 18743  df-lmod 18859  df-lss 18927  df-lsp 18966  df-lvec 19097
This theorem is referenced by:  lspsneleq  19109  lspsneq  19116  lspfixed  19122  islbs2  19148  lindsenlbs  33384  mapdpglem22  36808  hdmap14lem1a  36984
  Copyright terms: Public domain W3C validator