Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspss 19184
 Description: Span preserves subset ordering. (spanss 28514 analog.) (Contributed by NM, 11-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspss ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → (𝑁𝑇) ⊆ (𝑁𝑈))

Proof of Theorem lspss
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1232 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) ∧ 𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑇𝑈)
2 sstr2 3749 . . . . 5 (𝑇𝑈 → (𝑈𝑡𝑇𝑡))
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) ∧ 𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈𝑡𝑇𝑡))
43ss2rabdv 3822 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡})
5 intss 4648 . . 3 ({𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡} → {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
64, 5syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
7 simp1 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
8 simp3 1133 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → 𝑇𝑈)
9 simp2 1132 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → 𝑈𝑉)
108, 9sstrd 3752 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → 𝑇𝑉)
11 lspss.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
12 eqid 2758 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
13 lspss.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1411, 12, 13lspval 19175 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉) → (𝑁𝑇) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡})
157, 10, 14syl2anc 696 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → (𝑁𝑇) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡})
1611, 12, 13lspval 19175 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
17163adant3 1127 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → (𝑁𝑈) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
186, 15, 173sstr4d 3787 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → (𝑁𝑇) ⊆ (𝑁𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  {crab 3052   ⊆ wss 3713  ∩ cint 4625  ‘cfv 6047  Basecbs 16057  LModclmod 19063  LSubSpclss 19132  LSpanclspn 19171 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-id 5172  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-0g 16302  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-grp 17624  df-lmod 19065  df-lss 19133  df-lsp 19172 This theorem is referenced by:  lspun  19187  lspssp  19188  lspprid1  19197  lbspss  19282  lspsolvlem  19342  lspsolv  19343  lsppratlem3  19349  lbsextlem2  19359  lbsextlem3  19360  lbsextlem4  19361  lindfrn  20360  f1lindf  20361  lssats  34800  lpssat  34801  lssatle  34803  lssat  34804  dvhdimlem  37233  dvh3dim3N  37238  mapdindp2  37510  lspindp5  37559
 Copyright terms: Public domain W3C validator