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Theorem lss1d 19664
Description: One-dimensional subspace (or zero-dimensional if 𝑋 is the zero vector). (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lss1d.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lss1d.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lss1d.t · = ( ·𝑠𝑊)
lss1d.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lss1d.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lss1d ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝐾   · ,𝑘,𝑣   𝑘,𝑉,𝑣   𝑘,𝐹   𝑘,𝑊,𝑣   𝑘,𝑋,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑣,𝑘)   𝐹(𝑣)

Proof of Theorem lss1d
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lss1d.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
3 lss1d.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
43a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝐾 = (Base‘𝐹))
5 lss1d.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
65a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑊))
7 eqidd 2819 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (+g𝑊) = (+g𝑊))
8 lss1d.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
98a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → · = ( ·𝑠𝑊))
10 lss1d.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
1110a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
125, 1, 8, 3lmodvscl 19580 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘𝐾𝑋𝑉) → (𝑘 · 𝑋) ∈ 𝑉)
13123expa 1110 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘𝐾) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑘 · 𝑋) ∈ 𝑉)
1413an32s 648 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑘 · 𝑋) ∈ 𝑉)
15 eleq1a 2905 . . . . 5 ((𝑘 · 𝑋) ∈ 𝑉 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣𝑉))
1614, 15syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣𝑉))
1716rexlimdva 3281 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣𝑉))
1817abssdv 4042 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ⊆ 𝑉)
19 eqid 2818 . . . . 5 (0g𝐹) = (0g𝐹)
201, 3, 19lmod0cl 19589 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝐹) ∈ 𝐾)
2120adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (0g𝐹) ∈ 𝐾)
22 nfcv 2974 . . . 4 𝑘(0g𝐹)
23 nfre1 3303 . . . . . 6 𝑘𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)
2423nfab 2981 . . . . 5 𝑘{𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}
25 nfcv 2974 . . . . 5 𝑘
2624, 25nfne 3116 . . . 4 𝑘{𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅
27 biidd 263 . . . 4 (𝑘 = (0g𝐹) → ({𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅ ↔ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅))
28 ovex 7178 . . . . . 6 (𝑘 · 𝑋) ∈ V
2928elabrex 6993 . . . . 5 (𝑘𝐾 → (𝑘 · 𝑋) ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
3029ne0d 4298 . . . 4 (𝑘𝐾 → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅)
3122, 26, 27, 30vtoclgaf 3570 . . 3 ((0g𝐹) ∈ 𝐾 → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅)
3221, 31syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅)
33 vex 3495 . . . . . . . . . . 11 𝑎 ∈ V
34 eqeq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑎 = (𝑘 · 𝑋)))
3534rexbidv 3294 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑎 = (𝑘 · 𝑋)))
3633, 35elab 3664 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 𝑎 = (𝑘 · 𝑋))
37 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
3837eqeq2d 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑦 → (𝑎 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑎 = (𝑦 · 𝑋)))
3938cbvrexvw 3448 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘𝐾 𝑎 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑦𝐾 𝑎 = (𝑦 · 𝑋))
4036, 39bitri 276 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑦𝐾 𝑎 = (𝑦 · 𝑋))
41 vex 3495 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
42 eqeq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑏 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑏 = (𝑘 · 𝑋)))
4342rexbidv 3294 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑏 → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑏 = (𝑘 · 𝑋)))
4441, 43elab 3664 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 𝑏 = (𝑘 · 𝑋))
45 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧 → (𝑘 · 𝑋) = (𝑧 · 𝑋))
4645eqeq2d 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑧 → (𝑏 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)))
4746cbvrexvw 3448 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘𝐾 𝑏 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑏 = (𝑧 · 𝑋))
4844, 47bitri 276 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑧𝐾 𝑏 = (𝑧 · 𝑋))
4940, 48anbi12i 626 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}) ↔ (∃𝑦𝐾 𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ ∃𝑧𝐾 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)))
50 reeanv 3365 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) ↔ (∃𝑦𝐾 𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ ∃𝑧𝐾 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)))
5149, 50bitr4i 279 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}) ↔ ∃𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)))
52 simpll 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
53 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → 𝑥𝐾)
54 simprll 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → 𝑦𝐾)
55 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝐹) = (.r𝐹)
561, 3, 55lmodmcl 19575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝐾𝑦𝐾) → (𝑥(.r𝐹)𝑦) ∈ 𝐾)
5752, 53, 54, 56syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → (𝑥(.r𝐹)𝑦) ∈ 𝐾)
58 simprlr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → 𝑧𝐾)
59 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝐹) = (+g𝐹)
601, 3, 59lmodacl 19574 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥(.r𝐹)𝑦) ∈ 𝐾𝑧𝐾) → ((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐾)
6152, 57, 58, 60syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → ((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐾)
62 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → 𝑋𝑉)
63 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+g𝑊) = (+g𝑊)
645, 63, 1, 8, 3, 59lmodvsdir 19587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑥(.r𝐹)𝑦) ∈ 𝐾𝑧𝐾𝑋𝑉)) → (((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) · 𝑋) = (((𝑥(.r𝐹)𝑦) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
6552, 57, 58, 62, 64syl13anc 1364 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → (((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) · 𝑋) = (((𝑥(.r𝐹)𝑦) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
665, 1, 8, 3, 55lmodvsass 19588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑥(.r𝐹)𝑦) · 𝑋) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑋)))
6752, 53, 54, 62, 66syl13anc 1364 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → ((𝑥(.r𝐹)𝑦) · 𝑋) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑋)))
6867oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → (((𝑥(.r𝐹)𝑦) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
6965, 68eqtr2d 2854 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) · 𝑋))
70 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = ((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) → (𝑘 · 𝑋) = (((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) · 𝑋))
7170rspceeqv 3635 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) · 𝑋)) → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (𝑘 · 𝑋))
7261, 69, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (𝑘 · 𝑋))
73 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑦 · 𝑋) → (𝑥 · 𝑎) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑋)))
74 oveq12 7154 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 · 𝑎) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑋)) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
7573, 74sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
7675eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → (((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋) ↔ ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (𝑘 · 𝑋)))
7776rexbidv 3294 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → (∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (𝑘 · 𝑋)))
7872, 77syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))
7978expr 457 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑥𝐾 → ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))))
8079com23 86 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → (𝑥𝐾 → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))))
8180rexlimdvva 3291 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (∃𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → (𝑥𝐾 → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))))
8251, 81syl5bi 243 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}) → (𝑥𝐾 → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))))
8382expcomd 417 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → (𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → (𝑥𝐾 → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))))
8483com24 95 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑥𝐾 → (𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))))
85843imp2 1341 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑥𝐾𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})) → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))
86 ovex 7178 . . . 4 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ V
87 eqeq1 2822 . . . . 5 (𝑣 = ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))
8887rexbidv 3294 . . . 4 (𝑣 = ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))
8986, 88elab 3664 . . 3 (((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))
9085, 89sylibr 235 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑥𝐾𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})) → ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
912, 4, 6, 7, 9, 11, 18, 32, 90islssd 19636 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  wne 3013  wrex 3136  c0 4288  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-mgp 19169  df-ring 19228  df-lmod 19565  df-lss 19633
This theorem is referenced by:  lspsn  19703
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