Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssacs 19189
 Description: Submodules are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssacs.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
lssacs.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssacs (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem lssacs
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssacs.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 lssacs.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 19159 . . . . 5 (𝑎𝑆𝑎𝐵)
43a1i 11 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑎𝑆𝑎𝐵))
5 inss2 3977 . . . . . . . 8 ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}
6 ssrab2 3828 . . . . . . . 8 {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ⊆ 𝒫 𝐵
75, 6sstri 3753 . . . . . . 7 ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ⊆ 𝒫 𝐵
87sseli 3740 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
98elpwid 4314 . . . . 5 (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎𝐵)
109a1i 11 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎𝐵))
11 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
13 eqid 2760 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
1411, 12, 1, 13, 2islss4 19184 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (𝑎𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑎 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
1514adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑎 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
16 selpw 4309 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵𝑎𝐵)
17 eleq2w 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
1817raleqbi1dv 3285 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑎 → (∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ ∀𝑦𝑎 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
1918ralbidv 3124 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑎 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑎 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
2019elrab3 3505 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑎 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
2116, 20sylbir 225 . . . . . . . . 9 (𝑎𝐵 → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑎 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
2221adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑎 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
2322anbi2d 742 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵) → ((𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑎 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
2415, 23bitr4d 271 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
25 elin 3939 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))
2624, 25syl6bbr 278 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎𝑆𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
2726ex 449 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑎𝐵 → (𝑎𝑆𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))))
284, 10, 27pm5.21ndd 368 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑎𝑆𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
2928eqrdv 2758 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))
30 fvex 6363 . . . . 5 (Base‘𝑊) ∈ V
311, 30eqeltri 2835 . . . 4 𝐵 ∈ V
32 mreacs 16540 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
3331, 32mp1i 13 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
34 lmodgrp 19092 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
351subgacs 17850 . . . 4 (𝑊 ∈ Grp → (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵))
3634, 35syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵))
371, 11, 13, 12lmodvscl 19102 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
38373expb 1114 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
3938ralrimivva 3109 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝐵 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
40 acsfn1c 16544 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝐵 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵))
4131, 39, 40sylancr 698 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵))
42 mreincl 16481 . . 3 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ∈ (ACS‘𝐵))
4333, 36, 41, 42syl3anc 1477 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ∈ (ACS‘𝐵))
4429, 43eqeltrd 2839 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ (ACS‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  {crab 3054  Vcvv 3340   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  𝒫 cpw 4302  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  Moorecmre 16464  ACScacs 16467  Grpcgrp 17643  SubGrpcsubg 17809  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-lmod 19087  df-lss 19155 This theorem is referenced by:  lssacsex  19366  lidlacs  19443
 Copyright terms: Public domain W3C validator