MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssacsex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssacsex 19192
Description: In a vector space, subspaces form an algebraic closure system whose closure operator has the exchange property. Strengthening of lssacs 19015 by lspsolv 19191. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lssacsex.1 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
lssacsex.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
lssacsex.3 𝑋 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssacsex (𝑊 ∈ LVec → (𝐴 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧}))))
Distinct variable groups:   𝑊,𝑠,𝑦,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem lssacsex
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19154 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2 lssacsex.3 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑊)
3 lssacsex.1 . . . 4 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lssacs 19015 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
51, 4syl 17 . 2 (𝑊 ∈ LVec → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
6 simplll 813 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑊 ∈ LVec)
7 simpllr 815 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋)
87elpwid 4203 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑠𝑋)
9 simplr 807 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑦𝑋)
10 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠)))
11 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
12 lssacsex.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
133, 11, 12mrclsp 19037 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
146, 1, 133syl 18 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
1514fveq1d 6231 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) = (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})))
1614fveq1d 6231 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → ((LSpan‘𝑊)‘𝑠) = (𝑁𝑠))
1715, 16difeq12d 3762 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝑠)) = ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠)))
1810, 17eleqtrrd 2733 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑧 ∈ (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝑠)))
192, 3, 11lspsolv 19191 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑠𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝑠)))) → 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
206, 8, 9, 18, 19syl13anc 1368 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
2114fveq1d 6231 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑧})) = (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
2220, 21eleqtrd 2732 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
2322ralrimiva 2995 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
2423ralrimiva 2995 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ∀𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
2524ralrimiva 2995 . 2 (𝑊 ∈ LVec → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
265, 25jca 553 1 (𝑊 ∈ LVec → (𝐴 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  cdif 3604  cun 3605  wss 3607  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  cfv 5926  Basecbs 15904  mrClscmrc 16290  ACScacs 16292  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  LVecclvec 19150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151
This theorem is referenced by:  lvecdim  19205  lindsdom  33533  aacllem  42875
  Copyright terms: Public domain W3C validator