Theorem lssat 36146

Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of a 1-dim subspace less than or equal to one but not the other. (chpssati 30134 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssat	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ 𝑈 ⊊ 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑈,𝑝   𝑉,𝑝   𝑊,𝑝

Proof of Theorem lssat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpss3 4062	. . 3 ⊢ (𝑈 ⊊ 𝑉 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈))
2	1	simprbi 499	. 2 ⊢ (𝑈 ⊊ 𝑉 → ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈)
3		ss2rab 4046	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 → 𝑝 ⊆ 𝑈))
4		iman 404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑉 → 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
5	4	ralbii 3165	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 → 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
6	3, 5	bitr2i 278	. . . . 5 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
7		simpl1 1187	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑊 ∈ LMod)
8		lssat.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9		lssat.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
10	8, 9	lsatlss 36126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
11		rabss2 4053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
12		uniss 4852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
13	7, 10, 11, 12	4syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
14		simpl2 1188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑈 ∈ 𝑆)
15		unimax 4866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
17		eqid 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18	17, 8	lssss 19702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
20	16, 19	eqsstrd 4004	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝑆 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
21	13, 20	sstrd 3976	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
22		uniss 4852	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
23	22	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈})
24		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
25	17, 24	lspss 19750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
26	7, 21, 23, 25	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
27		simpl3 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑉 ∈ 𝑆)
28	8, 24, 9	lssats 36142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) → 𝑉 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}))
29	7, 27, 28	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑉 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉}))
30	8, 24, 9	lssats 36142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
31	7, 14, 30	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}))
32	26, 29, 31	3sstr4d 4013	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈}) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
33	32	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) → ({𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑉} ⊆ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ 𝑝 ⊆ 𝑈} → 𝑉 ⊆ 𝑈))
34	6, 33	syl5bi 244	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈))
35	34	con3dimp 411	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ¬ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
36		dfrex2 3239	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ 𝐴 ¬ (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
37	35, 36	sylibr 236	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))
38	2, 37	sylan2 594	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆) ∧ 𝑈 ⊊ 𝑉) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑝 ⊆ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142   ⊆ wss 3935   ⊊ wpss 3936  ∪ cuni 4831  ‘cfv 6349  Basecbs 16477  LModclmod 19628  LSubSpclss 19697  LSpanclspn 19737  LSAtomsclsa 36104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-lsatoms 36106

This theorem is referenced by: (None)