Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssatle 33768
Description: The ordering of two subspaces is determined by the atoms under them. (chrelat3 29070 analog.) (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatle.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssatle.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lssatle.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lssatle.t (𝜑𝑇𝑆)
lssatle.u (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
lssatle (𝜑 → (𝑇𝑈 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝𝑇𝑝𝑈)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑆,𝑝   𝑇,𝑝   𝑈,𝑝   𝑊,𝑝
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑝)

Proof of Theorem lssatle
StepHypRef Expression
1 sstr 3596 . . . 4 ((𝑝𝑇𝑇𝑈) → 𝑝𝑈)
21expcom 451 . . 3 (𝑇𝑈 → (𝑝𝑇𝑝𝑈))
32ralrimivw 2966 . 2 (𝑇𝑈 → ∀𝑝𝐴 (𝑝𝑇𝑝𝑈))
4 ss2rab 3662 . . 3 ({𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝𝑇𝑝𝑈))
5 lssatle.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
65adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → 𝑊 ∈ LMod)
7 lssatle.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
8 lssatle.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
97, 8lsatlss 33749 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴𝑆)
10 rabss2 3669 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑆 → {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈})
11 uniss 4429 . . . . . . . . 9 ({𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈} → {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈})
125, 9, 10, 114syl 19 . . . . . . . 8 (𝜑 {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ {𝑝𝑆𝑝𝑈})
13 lssatle.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑆)
14 unimax 4444 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑆 {𝑝𝑆𝑝𝑈} = 𝑈)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 {𝑝𝑆𝑝𝑈} = 𝑈)
16 eqid 2626 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1716, 7lssss 18851 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
1813, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
1915, 18eqsstrd 3623 . . . . . . . 8 (𝜑 {𝑝𝑆𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2012, 19sstrd 3598 . . . . . . 7 (𝜑 {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2120adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
22 uniss 4429 . . . . . . 7 ({𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} → {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈})
2322adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈})
24 eqid 2626 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
2516, 24lspss 18898 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
266, 21, 23, 25syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑 ∧ {𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
2726ex 450 . . . 4 (𝜑 → ({𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈})))
28 lssatle.t . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑆)
297, 24, 8lssats 33765 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}))
305, 28, 29syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}))
317, 24, 8lssats 33765 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
325, 13, 31syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈}))
3330, 32sseq12d 3618 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑇}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑝𝐴𝑝𝑈})))
3427, 33sylibrd 249 . . 3 (𝜑 → ({𝑝𝐴𝑝𝑇} ⊆ {𝑝𝐴𝑝𝑈} → 𝑇𝑈))
354, 34syl5bir 233 . 2 (𝜑 → (∀𝑝𝐴 (𝑝𝑇𝑝𝑈) → 𝑇𝑈))
363, 35impbid2 216 1 (𝜑 → (𝑇𝑈 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝𝑇𝑝𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  {crab 2916  wss 3560   cuni 4407  cfv 5850  Basecbs 15776  LModclmod 18779  LSubSpclss 18846  LSpanclspn 18885  LSAtomsclsa 33727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-lmod 18781  df-lss 18847  df-lsp 18886  df-lsatoms 33729
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  36392
  Copyright terms: Public domain W3C validator