Theorem lssatomic 36141

Description: The lattice of subspaces is atomic, i.e. any nonzero element is greater than or equal to some atom. (shatomici 30129 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssatomic.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssatomic.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lssatomic.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lssatomic.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssatomic.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssatomic.n	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lssatomic	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑆(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem lssatomic

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssatomic.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })
2		lssatomic.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		lssatomic.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		lssatomic.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5	3, 4	lssne0 19716	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 ))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 ))
7	1, 6	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 )
8		lssatomic.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
10	2	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ 𝑆)
11		simp2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ 𝑈)
12		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
13	12, 4	lssel 19703	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
14	10, 11, 13	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
15		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑥 ≠ 0 )
16		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
17		lssatomic.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
18	12, 16, 3, 17	lsatlspsn2 36122	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
19	9, 14, 15, 18	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
20	4, 16, 9, 10, 11	lspsnel5a 19762	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
21		sseq1 3991	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑞 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
22	21	rspcev 3622	. . . 4 ⊢ ((((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)
23	19, 20, 22	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)
24	23	rexlimdv3a 3286	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈))
25	7, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3935  {csn 4560  ‘cfv 6349  Basecbs 16477  0_gc0g 16707  LModclmod 19628  LSubSpclss 19697  LSpanclspn 19737  LSAtomsclsa 36104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-lsatoms 36106

This theorem is referenced by:  lsatcvatlem  36179  dochexmidlem5  38594