Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatomic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssatomic 33778
Description: The lattice of subspaces is atomic, i.e. any nonzero element is greater than or equal to some atom. (shatomici 29066 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatomic.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssatomic.o 0 = (0g𝑊)
lssatomic.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lssatomic.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lssatomic.u (𝜑𝑈𝑆)
lssatomic.n (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
Assertion
Ref Expression
lssatomic (𝜑 → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑆(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem lssatomic
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssatomic.n . . 3 (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
2 lssatomic.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
3 lssatomic.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
4 lssatomic.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
53, 4lssne0 18870 . . . 4 (𝑈𝑆 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥𝑈 𝑥0 ))
62, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥𝑈 𝑥0 ))
71, 6mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑈 𝑥0 )
8 lssatomic.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
983ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
1023ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑈𝑆)
11 simp2 1060 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑥𝑈)
12 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1312, 4lssel 18857 . . . . . 6 ((𝑈𝑆𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
1410, 11, 13syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
15 simp3 1061 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑥0 )
16 eqid 2621 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
17 lssatomic.a . . . . . 6 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
1812, 16, 3, 17lsatlspsn2 33759 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
199, 14, 15, 18syl3anc 1323 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
204, 16, 9, 10, 11lspsnel5a 18915 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
21 sseq1 3605 . . . . 5 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑞𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
2221rspcev 3295 . . . 4 ((((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈)
2319, 20, 22syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈)
2423rexlimdv3a 3026 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝑈 𝑥0 → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈))
257, 24mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  wss 3555  {csn 4148  cfv 5847  Basecbs 15781  0gc0g 16021  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LSpanclspn 18890  LSAtomsclsa 33741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lsatoms 33743
This theorem is referenced by:  lsatcvatlem  33816  dochexmidlem5  36233
  Copyright terms: Public domain W3C validator