Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssats Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssats 34617
 Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 29348 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssats ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2718 . . . . 5 (𝑦 = (0g𝑊) → (𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ↔ (0g𝑊) ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈})))
2 simplll 813 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simpllr 815 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑈𝑆)
4 simplr 807 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦𝑈)
5 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6 lssats.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
75, 6lssel 18986 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑆𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
83, 4, 7syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9 lssats.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
105, 6, 9lspsncl 19025 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
112, 8, 10syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
126, 9lspid 19030 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
132, 11, 12syl2anc 694 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
14 lssats.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
156, 14lsatlss 34601 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴𝑆)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝐴𝑆)
17 rabss2 3718 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈})
18 uniss 4490 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈} → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈})
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈})
20 unimax 4505 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑆 {𝑥𝑆𝑥𝑈} = 𝑈)
215, 6lssss 18985 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
2220, 21eqsstrd 3672 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝑆 {𝑥𝑆𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2322adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝑆𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2419, 23sstrd 3646 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2524ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
26 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ≠ (0g𝑊))
27 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑊) = (0g𝑊)
285, 9, 27, 14lsatlspsn2 34597 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
292, 8, 26, 28syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
306, 9, 2, 3, 4lspsnel5a 19044 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈)
31 sseq1 3659 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑁‘{𝑦}) → (𝑥𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
3231elrab 3396 . . . . . . . . . 10 ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ↔ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
3329, 30, 32sylanbrc 699 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥𝐴𝑥𝑈})
34 elssuni 4499 . . . . . . . . 9 ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥𝐴𝑥𝑈} → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ {𝑥𝐴𝑥𝑈})
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ {𝑥𝐴𝑥𝑈})
365, 9lspss 19032 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ {𝑥𝐴𝑥𝑈}) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
372, 25, 35, 36syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
3813, 37eqsstr3d 3673 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
395, 9lspsnid 19041 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
402, 8, 39syl2anc 694 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
4138, 40sseldd 3637 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
42 simpll 805 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
435, 6, 9lspcl 19024 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆)
4424, 43syldan 486 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆)
4544adantr 480 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆)
4627, 6lss0cl 18995 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆) → (0g𝑊) ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
4742, 45, 46syl2anc 694 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → (0g𝑊) ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
481, 41, 47pm2.61ne 2908 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
4948ex 449 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑦𝑈𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈})))
5049ssrdv 3642 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
51 simpl 472 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
525, 9lspss 19032 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥𝑆𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈}) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ⊆ (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}))
5351, 23, 19, 52syl3anc 1366 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ⊆ (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}))
5420adantl 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝑆𝑥𝑈} = 𝑈)
5554fveq2d 6233 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}) = (𝑁𝑈))
566, 9lspid 19030 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
5755, 56eqtrd 2685 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}) = 𝑈)
5853, 57sseqtrd 3674 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ⊆ 𝑈)
5950, 58eqssd 3653 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  {crab 2945   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ∪ cuni 4468  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  0gc0g 16147  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  LSAtomsclsa 34579 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lsatoms 34581 This theorem is referenced by:  lpssat  34618  lssatle  34620  lssat  34621
 Copyright terms: Public domain W3C validator