Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssats Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssats 33115
Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 28405 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssats ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2670 . . . . 5 (𝑦 = (0g𝑊) → (𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ↔ (0g𝑊) ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈})))
2 simplll 793 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simpllr 794 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑈𝑆)
4 simplr 787 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦𝑈)
5 eqid 2604 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6 lssats.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
75, 6lssel 18700 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑆𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
83, 4, 7syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9 lssats.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
105, 6, 9lspsncl 18739 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
112, 8, 10syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
126, 9lspid 18744 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
132, 11, 12syl2anc 690 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
14 lssats.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
156, 14lsatlss 33099 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴𝑆)
1615adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝐴𝑆)
17 rabss2 3642 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈})
18 uniss 4383 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈} → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈})
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈})
20 unimax 4398 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑆 {𝑥𝑆𝑥𝑈} = 𝑈)
215, 6lssss 18699 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
2220, 21eqsstrd 3596 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝑆 {𝑥𝑆𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2322adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝑆𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2419, 23sstrd 3572 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2524ad2antrr 757 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
26 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ≠ (0g𝑊))
27 eqid 2604 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑊) = (0g𝑊)
285, 9, 27, 14lsatlspsn2 33095 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
292, 8, 26, 28syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
306, 9, 2, 3, 4lspsnel5a 18758 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈)
31 sseq1 3583 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑁‘{𝑦}) → (𝑥𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
3231elrab 3325 . . . . . . . . . 10 ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ↔ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
3329, 30, 32sylanbrc 694 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥𝐴𝑥𝑈})
34 elssuni 4392 . . . . . . . . 9 ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥𝐴𝑥𝑈} → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ {𝑥𝐴𝑥𝑈})
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ {𝑥𝐴𝑥𝑈})
365, 9lspss 18746 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ {𝑥𝐴𝑥𝑈}) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
372, 25, 35, 36syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
3813, 37eqsstr3d 3597 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
395, 9lspsnid 18755 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
402, 8, 39syl2anc 690 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
4138, 40sseldd 3563 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
42 simpll 785 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
435, 6, 9lspcl 18738 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆)
4424, 43syldan 485 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆)
4544adantr 479 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆)
4627, 6lss0cl 18709 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆) → (0g𝑊) ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
4742, 45, 46syl2anc 690 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → (0g𝑊) ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
481, 41, 47pm2.61ne 2861 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
4948ex 448 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑦𝑈𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈})))
5049ssrdv 3568 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
51 simpl 471 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
525, 9lspss 18746 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥𝑆𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈}) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ⊆ (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}))
5351, 23, 19, 52syl3anc 1317 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ⊆ (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}))
5420adantl 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝑆𝑥𝑈} = 𝑈)
5554fveq2d 6087 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}) = (𝑁𝑈))
566, 9lspid 18744 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
5755, 56eqtrd 2638 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}) = 𝑈)
5853, 57sseqtrd 3598 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ⊆ 𝑈)
5950, 58eqssd 3579 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2774  {crab 2894  wss 3534  {csn 4119   cuni 4361  cfv 5785  Basecbs 15636  0gc0g 15864  LModclmod 18627  LSubSpclss 18694  LSpanclspn 18733  LSAtomsclsa 33077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-plusg 15722  df-0g 15866  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-sbg 17191  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-lmod 18629  df-lss 18695  df-lsp 18734  df-lsatoms 33079
This theorem is referenced by:  lpssat  33116  lssatle  33118  lssat  33119
  Copyright terms: Public domain W3C validator