MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssintcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssintcl 19166
Description: The intersection of a nonempty set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lssintcl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssintcl ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑆)

Proof of Theorem lssintcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2761 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2 eqidd 2761 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3 eqidd 2761 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4 eqidd 2761 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → (+g𝑊) = (+g𝑊))
5 eqidd 2761 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊))
6 lssintcl.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
76a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8 intssuni2 4654 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 𝑆)
983adant1 1125 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 𝑆)
10 eqid 2760 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1110, 6lssss 19139 . . . . . 6 (𝑦𝑆𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
12 selpw 4309 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
1311, 12sylibr 224 . . . . 5 (𝑦𝑆𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
1413ssriv 3748 . . . 4 𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
15 sspwuni 4763 . . . 4 (𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
1614, 15mpbi 220 . . 3 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)
179, 16syl6ss 3756 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
18 simpl1 1228 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
19 simp2 1132 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑆)
2019sselda 3744 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝑆)
21 eqid 2760 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2221, 6lss0cl 19149 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑆) → (0g𝑊) ∈ 𝑦)
2318, 20, 22syl2anc 696 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐴) → (0g𝑊) ∈ 𝑦)
2423ralrimiva 3104 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑦𝐴 (0g𝑊) ∈ 𝑦)
25 fvex 6362 . . . . 5 (0g𝑊) ∈ V
2625elint2 4634 . . . 4 ((0g𝑊) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 (0g𝑊) ∈ 𝑦)
2724, 26sylibr 224 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → (0g𝑊) ∈ 𝐴)
28 ne0i 4064 . . 3 ((0g𝑊) ∈ 𝐴 𝐴 ≠ ∅)
2927, 28syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
3020adantlr 753 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝑆)
31 simplr1 1261 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
32 simplr2 1263 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑎 𝐴)
33 simpr 479 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
34 elinti 4637 . . . . . 6 (𝑎 𝐴 → (𝑦𝐴𝑎𝑦))
3532, 33, 34sylc 65 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑎𝑦)
36 simplr3 1265 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑏 𝐴)
37 elinti 4637 . . . . . 6 (𝑏 𝐴 → (𝑦𝐴𝑏𝑦))
3836, 33, 37sylc 65 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑏𝑦)
39 eqid 2760 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
40 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
41 eqid 2760 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
42 eqid 2760 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
4339, 40, 41, 42, 6lsscl 19145 . . . . 5 ((𝑦𝑆 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑦𝑏𝑦)) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
4430, 31, 35, 38, 43syl13anc 1479 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
4544ralrimiva 3104 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) → ∀𝑦𝐴 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
46 ovex 6841 . . . 4 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ V
4746elint2 4634 . . 3 (((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
4845, 47sylibr 224 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝐴)
491, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 29, 48islssd 19138 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302   cuni 4588   cint 4627  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  Scalarcsca 16146   ·𝑠 cvsca 16147  0gc0g 16302  LModclmod 19065  LSubSpclss 19134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-lmod 19067  df-lss 19135
This theorem is referenced by:  lssincl  19167  lssmre  19168  lspf  19176  asplss  19531  dihglblem5  37089
  Copyright terms: Public domain W3C validator