MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslindf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsslindf 20363
Description: Linear independence is unchanged by working in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslindf.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
lsslindf.x 𝑋 = (𝑊s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lsslindf ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → (𝐹 LIndF 𝑋𝐹 LIndF 𝑊))

Proof of Theorem lsslindf
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rellindf 20341 . . . 4 Rel LIndF
21brrelexi 5307 . . 3 (𝐹 LIndF 𝑋𝐹 ∈ V)
32a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → (𝐹 LIndF 𝑋𝐹 ∈ V))
41brrelexi 5307 . . 3 (𝐹 LIndF 𝑊𝐹 ∈ V)
54a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → (𝐹 LIndF 𝑊𝐹 ∈ V))
6 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋))
7 lsslindf.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (𝑊s 𝑆)
8 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
97, 8ressbasss 16126 . . . . . . . 8 (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)
10 fss 6209 . . . . . . . 8 ((𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋) ∧ (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊))
116, 9, 10sylancl 697 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊))
12 ffn 6198 . . . . . . . . 9 (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
1312adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊)) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
14 simp3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → ran 𝐹𝑆)
15 lsslindf.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
168, 15lssss 19131 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝑈𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
17163ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
187, 8ressbas2 16125 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑆 = (Base‘𝑋))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝑋))
2014, 19sseqtrd 3774 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑋))
2120adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊)) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑋))
22 df-f 6045 . . . . . . . 8 (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋) ↔ (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑋)))
2313, 21, 22sylanbrc 701 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊)) → 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋))
2411, 23impbida 913 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋) ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊)))
2524adantr 472 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋) ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊)))
26 simpl2 1227 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → 𝑆𝑈)
27 eqid 2752 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
287, 27resssca 16225 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑈 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
2928eqcomd 2758 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝑈 → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
3026, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
3130fveq2d 6348 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3230fveq2d 6348 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (0g‘(Scalar‘𝑋)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3332sneqd 4325 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → {(0g‘(Scalar‘𝑋))} = {(0g‘(Scalar‘𝑊))})
3431, 33difeq12d 3864 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑋))}) = ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
35 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
367, 35ressvsca 16226 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝑈 → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
3736eqcomd 2758 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑈 → ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑊))
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑊))
3938oveqd 6822 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝑘( ·𝑠𝑋)(𝐹𝑥)) = (𝑘( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑥)))
40 simpl1 1225 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → 𝑊 ∈ LMod)
41 imassrn 5627 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})) ⊆ ran 𝐹
42 simpl3 1229 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → ran 𝐹𝑆)
4341, 42syl5ss 3747 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑆)
44 eqid 2752 . . . . . . . . . . . 12 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
45 eqid 2752 . . . . . . . . . . . 12 (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
467, 44, 45, 15lsslsp 19209 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑆) → ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) = ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))
4740, 26, 43, 46syl3anc 1473 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) = ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))
4847eqcomd 2758 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))
4939, 48eleq12d 2825 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝑘( ·𝑠𝑋)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})))))
5049notbid 307 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (¬ (𝑘( ·𝑠𝑋)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})))))
5134, 50raleqbidv 3283 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑋))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑋)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})))))
5251ralbidv 3116 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑋))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑋)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})))))
5325, 52anbi12d 749 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑋))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑋)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})))) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
54 ovex 6833 . . . . . . 7 (𝑊s 𝑆) ∈ V
557, 54eqeltri 2827 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
5655a1i 11 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → 𝑋 ∈ V)
57 eqid 2752 . . . . . 6 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
58 eqid 2752 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑋)
59 eqid 2752 . . . . . 6 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
60 eqid 2752 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
61 eqid 2752 . . . . . 6 (0g‘(Scalar‘𝑋)) = (0g‘(Scalar‘𝑋))
6257, 58, 45, 59, 60, 61islindf 20345 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 LIndF 𝑋 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑋))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑋)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
6356, 62sylan 489 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 LIndF 𝑋 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑋))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑋)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑋)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
64 eqid 2752 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
65 eqid 2752 . . . . . 6 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
668, 35, 44, 27, 64, 65islindf 20345 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
67663ad2antl1 1198 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶(Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑥)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
6853, 63, 673bitr4d 300 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 LIndF 𝑋𝐹 LIndF 𝑊))
6968ex 449 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → (𝐹 ∈ V → (𝐹 LIndF 𝑋𝐹 LIndF 𝑊)))
703, 5, 69pm5.21ndd 368 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran 𝐹𝑆) → (𝐹 LIndF 𝑋𝐹 LIndF 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  Vcvv 3332  cdif 3704  wss 3707  {csn 4313   class class class wbr 4796  dom cdm 5258  ran crn 5259  cima 5261   Fn wfn 6036  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  Basecbs 16051  s cress 16052  Scalarcsca 16138   ·𝑠 cvsca 16139  0gc0g 16294  LModclmod 19057  LSubSpclss 19126  LSpanclspn 19165   LIndF clindf 20337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-0g 16296  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-subg 17784  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-lmod 19059  df-lss 19127  df-lsp 19166  df-lindf 20339
This theorem is referenced by:  lsslinds  20364
  Copyright terms: Public domain W3C validator